Fundamentos de Probabilidad y Distribuciones Binomial y Poisson

Conceptos Fundamentales de Probabilidad

Enfoque Clásico: Si hay m posibilidades igualmente probables, de las cuales una debe ocurrir y s se consideran como resultados favorables ("éxito"), entonces la probabilidad de un éxito es s/m.

Frecuencias: La probabilidad de un evento es la proporción de veces en que el evento ocurrirá a largo plazo en experimentos repetidos.

P(A) = fr = Cantidad de veces que ocurre A / Cantidad de veces que se repite el experimento = fa / n

fr = fa / n → P(A) conforme n → ∞

Axiomas de Probabilidad

A cada evento definido sobre un espacio muestral le asignaremos un número no negativo denominado probabilidad.

Por lo tanto, la probabilidad es una función de los eventos definidos.

Escribimos P(A) para definir la probabilidad del evento (o suceso) “A”.

Las probabilidades cumplen tres axiomas. Sea A cualquier evento definido sobre un espacio muestral S.

Distribución Binomial

Esta distribución está compuesta por una serie de ensayos, conocidos como ensayos de Bernoulli, siempre que se cumplan las siguientes suposiciones:

• Dos resultados posibles: Solo hay dos resultados para cada ensayo, llamados éxito y fracaso.
• Probabilidad constante: La probabilidad del éxito es la misma para cada ensayo.
• Independencia: Los resultados de los diferentes ensayos son independientes.

Sea X una variable aleatoria que representa el número de éxitos en n ensayos. Para obtener las probabilidades concernientes a x, se procede del siguiente modo:

Si p y 1-p son las probabilidades de éxito y fracaso en algún ensayo, entonces la probabilidad de obtener x éxitos y n-x fracasos, en algún orden específico, es p^x (1-p)^n-x. En este producto hay:

• Un factor p para cada éxito.
• Un factor 1-p para cada fracaso.

Las cantidades combinatorias (n;x) se conocen como coeficientes binomiales.

La ecuación anterior define una familia de distribuciones de probabilidad, donde cada miembro se caracteriza por un valor dado del parámetro p y el número de ensayos n.

Media y Varianza de la Distribución Binomial

Media:

Varianza:

Procesos de Poisson

Este tipo de procesos tiene lugar durante intervalos de tiempo o espacios continuos. Para encontrar la probabilidad de X éxitos durante un intervalo de tiempo de longitud T, el intervalo se divide en n partes iguales de longitud Δt, de modo que T = n · Δt, suponiendo que:

1. La probabilidad de un éxito durante un intervalo de tiempo muy pequeño Δt está dada por α · Δt.
2. La probabilidad de más de un éxito durante tal intervalo de tiempo pequeño Δt es despreciable.
3. La probabilidad de un éxito durante tal intervalo de tiempo no depende de lo que ocurre antes de ese tiempo.

Media y Varianza de la Distribución de Poisson