Fundamentos de Probabilidad: Distribuciones Binomial y Normal con Ejercicios Prácticos

Distribución Binomial: Conceptos Fundamentales

La distribución binomial ocurre cuando se realiza $N$ veces consecutivas un experimento de Bernoulli y se desea determinar la probabilidad de que ocurran exactamente $K$ veces el éxito.

Fórmula y Notación

La probabilidad de obtener $K$ éxitos se calcula mediante la fórmula:

$$P(X=K) = \binom{N}{K} \cdot P^K \cdot Q^{N-K}$$

Donde:

• $X \sim B(N, P)$: Notación de la distribución binomial.
• $N$: Número de ensayos (repeticiones).
• $K$: Número de éxitos buscados.
• $P$: Probabilidad de que ocurra el éxito en un solo ensayo.
• $Q$: Probabilidad de que ocurra el fracaso ($Q = 1 - P$).
• $\binom{N}{K}$: Coeficiente binomial (combinaciones de $N$ en $K$).

Ejemplos Resueltos de Probabilidad Binomial

Caso 1: Lanzamiento de Moneda

Calcular la probabilidad de obtener 3 caras al lanzar una moneda 10 veces.

• $N = 10$ (Veces que se repite)
• $K = 3$ (Éxitos buscados: caras)
• $P = 0,5$ (Probabilidad de éxito)
• $Q = 0,5$ ($1-P$)

Cálculo: $X \sim B(10, 0,5)$. $P(X=3) = \binom{10}{3} \cdot (0,5)^3 \cdot (0,5)^7 \approx 0,1171$

Resultado: $P(X=3) \approx 0,1171$ (o 11,71%).

Caso 2: Lanzamiento de Dado

¿Cuál es la probabilidad de que, al lanzar un dado 6 veces, salga el número 5 en 2 ocasiones?

• $N = 6$
• $K = 2$
• $P = 1/6$
• $Q = 5/6$

Cálculo: $P(X=2) = \binom{6}{2} \cdot (1/6)^2 \cdot (5/6)^{6-2} \approx 0,2009$

Resultado: $P(X=2) \approx 0,2009$ (o 20,09%).

Caso 3: Artículos Defectuosos

La probabilidad de que un artículo producido por una empresa sea defectuoso es del 2% ($P=0,02$). Si se enviarán 30 artículos ($N=30$) a un comerciante, calcular las siguientes probabilidades. ($Q=0,98$).

1. Que no existan artículos defectuosos ($K=0$).

   $P(X=0) = \binom{30}{0} \cdot (0,02)^0 \cdot (0,98)^{30} \approx 0,5455$

2. Que existan 5 artículos defectuosos ($K=5$).

   $P(X=5) = \binom{30}{5} \cdot (0,02)^5 \cdot (0,98)^{25} \approx 0,0003$

3. Que existan al menos 2 artículos defectuosos ($P(X \ge 2)$).

   Se calcula usando el complemento: $P(X \ge 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1)]$.

   Primero, calculamos $P(X=1)$: $P(X=1) = \binom{30}{1} \cdot (0,02)^1 \cdot (0,98)^{29} \approx 0,3340$

   Luego, calculamos $P(X \ge 2)$: $1 - (0,5455 + 0,3340) = 1 - 0,8795 = 0,1205$

Esperanza, Varianza y Desviación Estándar (Binomial)

Los parámetros centrales de la distribución binomial se definen como:

• Esperanza Matemática (o promedio esperado, $\mu$): $\mu = N \cdot P$
• Varianza ($\sigma^2$): $\sigma^2 = N \cdot P \cdot Q$
• Desviación Estándar ($\sigma$): $\sigma = \sqrt{N \cdot P \cdot Q}$

Cálculo de Parámetros (Ejercicio de Artículos Defectuosos)

Utilizando los datos del ejercicio anterior ($N=30, P=0,02, Q=0,98$):

• Esperanza ($\mu$): $\mu = 30 \cdot 0,02 = 0,6$
• Varianza ($\sigma^2$): $\sigma^2 = 30 \cdot 0,02 \cdot 0,98 = 0,588$ (Nota: El valor original 0,6 es incorrecto, el valor correcto es 0,588)
• Desviación Estándar ($\sigma$): $\sigma = \sqrt{0,588} \approx 0,7668$

Aplicación Adicional: Amortiguadores Defectuosos

En pruebas realizadas a un amortiguador para un automóvil, se encontró que un 4% ($P=0,04$) presentaba fuga de aceite. Si se instalan 8 amortiguadores ($N=8$), calcular las siguientes probabilidades. ($Q=0,96$).

1. Que salgan 4 defectuosos ($K=4$).

   $P(X=4) = \binom{8}{4} \cdot (0,04)^4 \cdot (0,96)^{8-4} \approx 0,00015$

2. Más de 5 que tengan fuga de aceite ($P(X > 5)$).

   $P(X > 5) = P(X=6) + P(X=7) + P(X=8) \approx 0,000000101$

3. Entre 3 y 6 amortiguadores defectuosos ($P(3 \le X \le 6)$).

   $P(3 \le X \le 6) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) \approx 0,0031$

4. Determinar el promedio ($\mu$) y la desviación estándar ($\sigma$).

   • $\mu = N \cdot P = 8 \cdot 0,04 = 0,32$
   • $\sigma = \sqrt{N \cdot P \cdot Q} = \sqrt{8 \cdot 0,04 \cdot 0,96} \approx 0,5543$

Distribución Normal y la Campana de Gauss

La Distribución Normal, también conocida como la Campana de Gauss, es fundamental en la estadística inferencial.

Cálculo de Intervalos de Confianza (Monedas)

Una máquina que fabrica monedas genera monedas con un diámetro promedio ($\mu$) de 15 mm y una varianza ($\sigma^2$) de 0,4 mm. Por lo tanto, la desviación estándar es $\sigma = \sqrt{0,4} \approx 0,63$ mm.

Intervalo del 68% (Regla Empírica)

El intervalo de confianza del 68% se define como $(\mu - \sigma; \mu + \sigma)$.

• $I_{68\%} = (15 - 0,63; 15 + 0,63) = (14,37; 15,63)$

Intervalo del 97% (Aproximación)

El intervalo de confianza del 97% (usando $2\sigma$) se define como $(\mu - 2\sigma; \mu + 2\sigma)$.

• $I_{97\%} = (15 - 2 \cdot 0,63; 15 + 2 \cdot 0,63) = (15 - 1,26; 15 + 1,26) = (13,74; 16,26)$

Normalización y Puntuación Z

La Normalización (o estandarización) considera cualquier distribución normal con parámetros $\mu$ y $\sigma^2$ y la transforma en la Distribución Normal Estándar, que tiene como promedio $\mu=0$ y varianza $\sigma^2=1$.

Fórmula de la Puntuación Z

La fórmula para normalizar una variable aleatoria $X$ es:

$$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$

Ejemplo Práctico: Estatura de Habitantes

Un estudio realizado en Rancagua da como resultado que en promedio los habitantes miden 164 cm ($\mu=164$) con una varianza de 144 ($\sigma^2=144$). Por lo tanto, la desviación estándar es $\sigma = \sqrt{144} = 12$ cm. (Nota: El valor de $Z$ siempre se calcula con 2 decimales).

Probabilidad de medir menos de 158 cm

¿Qué probabilidad hay de seleccionar un habitante al azar y que mida menos de 158 cm?

Cálculo de Z para $X=158$:

$Z = \frac{158 - 164}{12} = \frac{-6}{12} = -0,50$

$P(X \le 158) = P(Z \le -0,50) = 0,30854$

Probabilidad de medir menos de 200 cm

Cálculo de Z para $X=200$:

$Z = \frac{200 - 164}{12} = \frac{36}{12} = 3,00$

$P(X \le 200) = P(Z \le 3,00) = 0,99865$

Probabilidad de medir menos de 174 cm

Cálculo de Z para $X=174$:

$Z = \frac{174 - 164}{12} = \frac{10}{12} \approx 0,83$

$P(X \le 174) = P(Z \le 0,83) = 0,79673$

Probabilidad de medir más de 174 cm

Se calcula usando el complemento:

$P(X \ge 174) = 1 - P(X < 174) = 1 - 0,79673 = 0,20327$

Probabilidad de medir entre 158 cm y 174 cm

Se calcula como la diferencia de las probabilidades acumuladas:

$P(158 \le X \le 174) = P(X \le 174) - P(X \le 158)$

$P(158 \le X \le 174) = 0,79673 - 0,30854 = 0,48819$