Fundamentos de Probabilidad: Conceptos Clave y Aplicaciones Matemáticas

Probabilidad: Fundamentos y Propiedades Esenciales

Ideas Previas

La probabilidad es el estudio de los fenómenos aleatorios. Sirve para estudiar los comportamientos que se derivan de la realización de un experimento aleatorio.

Conceptos Fundamentales en Probabilidad

Suceso Aleatorio

Es el resultado que se obtiene al realizar una prueba aleatoria. Para que un suceso sea aleatorio, se deben cumplir las siguientes condiciones:

• Se conocen con anterioridad a la realización del experimento todos los posibles resultados.
• No es posible conocer con anterioridad a la realización del experimento el resultado concreto.
• El experimento se puede reiterar tantas veces como se desee.
• Cuando la experiencia se repite muchas veces, se observa que el cociente entre las veces que ha salido "el suceso" y el número muy grande (infinito) de veces que hemos realizado el experimento tiende a estabilizarse en torno a un valor fijo, y ese valor es la probabilidad.

Experimento Aleatorio

Consiste en la realización de un ensayo del cual se producirán unos resultados. Se justifica por tres razones:

• Se pueden predecir antes de la ejecución todos los posibles resultados.
• No podemos conocer a priori qué resultado concreto se obtendrá.
• Observando las mismas circunstancias, puede reiterarse el experimento tantas veces como se quiera.

Espacio Muestral (U)

Es el conjunto de todos los posibles resultados que se pueden presentar tras la realización de un experimento aleatorio. Se denota comúnmente con la letra U o Ω.

Suceso Seguro

Se presenta siempre que se lleve a cabo el experimento aleatorio. Coincide con el espacio muestral.

Suceso Imposible (Φ)

Es el suceso que nunca se presenta. Se denota por Φ (conjunto vacío).

Conjunto Potencia de U (P(U))

Es el conjunto de todos los posibles subconjuntos del espacio muestral U. Se denota por P(U).

Sucesos Contrarios

Son aquellos sucesos en los que la realización de uno impide la del otro.

Unión de Sucesos (A∪B)

Se llama A∪B al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A, a B, o a ambos sucesos.

Intersección de Sucesos (A∩B)

Está formado por los elementos comunes a ambos sucesos. Se denota por A∩B.

Sucesos Incompatibles

No tienen elementos en común. Se cumple que A∩B = Φ.

Sucesos Complementarios o Contrarios

Cuando se cumple que A∩Aᶜ = Φ y A∪Aᶜ = U. Se denota el suceso complementario de A como Aᶜ o A'.

La Probabilidad

Es el valor al que tienden a estabilizarse las frecuencias relativas cuando repetimos un experimento un número muy grande de veces (tendiendo al infinito).

Propiedades de la Frecuencia Relativa de un Suceso

1. La frecuencia relativa de un suceso está comprendida entre 0 y 1.
2. La frecuencia relativa del suceso seguro es 1.
3. La unión de dos sucesos incompatibles es la suma de las frecuencias relativas de ambos sucesos: F(A∪B) = f(A) + f(B).

Propiedades de la Probabilidad de un Suceso

1. La probabilidad de un suceso está comprendida entre 0 y 1: 0 ≤ P(A) ≤ 1.
2. La probabilidad del espacio muestral es 1: P(U) = 1.
3. La probabilidad de dos sucesos incompatibles es la suma de las probabilidades de ambos sucesos: P(A∪B) = P(A) + P(B).
4. Para dos sucesos cualesquiera A y B, la probabilidad de su unión es: P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B).
5. La probabilidad de un suceso complementario (o contrario) es 1 menos la probabilidad del suceso original: P(Aᶜ) = 1 - P(A).
6. La probabilidad del suceso imposible es 0: P(Φ) = 0.
7. Regla de Laplace.

Fórmulas y Ejemplos Clave

• Fórmula Básica (Regla de Laplace): P(A) = (Número de casos favorables) / (Número de casos posibles).
• Variaciones sin repetición: Por ejemplo, V₃,₂ = 3 × 2 = 6.
• Variaciones con repetición: Por ejemplo, VR₃,₂ = 3² = 9.
• Ejemplo de Probabilidad Compuesta: P[PA ∩ (MO ∪ CE ∪ RE)] = P(PA∩MO) + P(PA∩CE) + P(PA∩RE) (si MO, CE, RE son mutuamente excluyentes).
• Probabilidad Condicional: P(A₁ | B) = P(A₁ ∩ B) / P(B).
• Combinaciones: Por ejemplo, C₄,₂ = (⁴₂ ) = 4! / (2! * (4-2)!) = (4 × 3 × 2 × 1) / ((2 × 1) × (2 × 1)) = 24 / (2 × 2) = 24 / 4 = 6.