Fundamentos de Probabilidad: Axiomas y Teoremas Esenciales

Axiomas de Probabilidad

Los axiomas de probabilidad, también conocidos como axiomas de Kolmogorov, son las reglas fundamentales que rigen el cálculo de probabilidades. Establecen las propiedades básicas que debe cumplir cualquier función de probabilidad.

Axioma I: No Negatividad

Siendo A un evento cualquiera del espacio muestral, su probabilidad debe ser un valor entre 0 y 1, inclusive:

0 ≤ P(A) ≤ 1

Axioma II: Probabilidad del Espacio Muestral

Siendo S el espacio muestral (el conjunto de todos los posibles resultados), la probabilidad de que ocurra cualquier evento dentro de este espacio es igual a 1:

P(S) = 1

Axioma III: Aditividad para Eventos Mutuamente Excluyentes

Siendo A y B un par de eventos mutuamente excluyentes (es decir, su intersección es vacía, A ⋂ B = ∅), la probabilidad de que ocurra A o B es la suma de sus probabilidades individuales:

P(A U B) = P(A) + P(B)

Teoremas Fundamentales de Probabilidad

A partir de los axiomas de probabilidad, se pueden derivar diversos teoremas que facilitan el cálculo y la comprensión de las probabilidades de eventos más complejos.

Teorema 1: Probabilidad del Evento Imposible

La probabilidad de un evento imposible (el conjunto vacío ∅) es 0:

P(∅) = 0

Demostración:

Sea A un evento cualquiera. Se sabe que A U ∅ = A.

Dado que a eventos iguales corresponden probabilidades iguales, se tiene que:

P(A U ∅) = P(A) (1)

Los eventos A y ∅ son mutuamente excluyentes, ya que A ⋂ ∅ = ∅. Por lo tanto, se puede aplicar el Axioma III:

P(A U ∅) = P(A) + P(∅) (2)

Juntando las expresiones (1) y (2), se obtiene:

P(A) + P(∅) = P(A)

Al cancelar P(A) en ambos lados de la ecuación, se concluye que:

P(∅) = 0

Teorema 2: Probabilidad del Evento Complementario

La probabilidad del complemento de un evento A (denotado como Aᶜ o A') es 1 menos la probabilidad de A:

P(Aᶜ) = 1 – P(A)

Demostración:

Sea A un evento cualquiera. Se sabe que la unión de un evento y su complemento es el espacio muestral completo: A U Aᶜ = S.

Aplicando la propiedad de que a eventos iguales corresponden probabilidades iguales:

P(A U Aᶜ) = P(S) (1)

Por el Axioma II, sabemos que P(S) = 1.

Además, los eventos A y Aᶜ son mutuamente excluyentes (no existe ningún elemento que esté en A y en Aᶜ a la vez). Por lo tanto, se puede aplicar el Axioma III:

P(A U Aᶜ) = P(A) + P(Aᶜ) (2)

Sustituyendo (1) y el Axioma II en (2), se obtiene:

P(A) + P(Aᶜ) = 1

Despejando P(Aᶜ), se llega a la conclusión:

P(Aᶜ) = 1 – P(A)

Teorema 3: Probabilidad de un Subconjunto

Si el evento A es un subconjunto del evento B (A ⊂ B), entonces la probabilidad de A es menor o igual que la probabilidad de B:

Si A ⊂ B, entonces P(A) ≤ P(B)

Demostración:

Siendo A y B dos eventos tales que A ⊂ B, se observa que A U (B\A) = B, donde B\A representa los elementos de B que no están en A.

Aplicando la propiedad de que a eventos iguales corresponden probabilidades iguales:

P[A U (B\A)] = P(B) (1)

Los eventos A y B\A son mutuamente excluyentes. Por lo tanto, se puede aplicar el Axioma III:

P[A U (B\A)] = P(A) + P(B\A) (2)

Juntando las expresiones (1) y (2), se tiene:

P(A) + P(B\A) = P(B)

Por el Axioma I, sabemos que la probabilidad de cualquier evento es no negativa, es decir, P(B\A) ≥ 0.

Dado que P(B) = P(A) + P(B\A) y P(B\A) ≥ 0, se concluye que:

P(A) ≤ P(B)

Teorema 4: Probabilidad de la Diferencia de Eventos

La probabilidad de que ocurra el evento A pero no el evento B (A\B) es igual a la probabilidad de A menos la probabilidad de la intersección de A y B:

P(A\B) = P(A) – P(A ⋂ B)

Demostración:

Siendo A y B dos eventos cualesquiera, se observa que el evento A puede ser expresado como la unión de dos eventos mutuamente excluyentes: (A\B) U (A ⋂ B) = A.

Aplicando la propiedad de que a eventos iguales corresponden probabilidades iguales:

P[(A\B) U (A ⋂ B)] = P(A) (1)

Los eventos A\B y A ⋂ B son mutuamente excluyentes. Por lo tanto, se puede aplicar el Axioma III:

P[(A\B) U (A ⋂ B)] = P(A\B) + P(A ⋂ B) (2)

Juntando las expresiones (1) y (2), se tiene:

P(A\B) + P(A ⋂ B) = P(A)

Despejando P(A\B), se obtiene:

P(A\B) = P(A) – P(A ⋂ B)

Teorema 5: Probabilidad de la Unión de Dos Eventos

La probabilidad de la unión de dos eventos A y B (A U B) es igual a la suma de sus probabilidades individuales menos la probabilidad de su intersección:

P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ⋂ B)

Demostración:

Siendo A y B dos eventos cualesquiera, se observa que la unión A U B puede ser expresada como la unión de dos eventos mutuamente excluyentes: (A\B) U B = A U B.

Aplicando la propiedad de que a eventos iguales corresponden probabilidades iguales:

P[(A\B) U B] = P(A U B) (1)

Los eventos A\B y B son mutuamente excluyentes. Por lo tanto, se puede aplicar el Axioma III:

P(A\B) + P(B) = P(A U B) (2)

Ahora, aplicamos el Teorema 4 a la expresión (2), sustituyendo P(A\B) por P(A) – P(A ⋂ B):

[P(A) – P(A ⋂ B)] + P(B) = P(A U B)

Reorganizando los términos, se obtiene la fórmula final:

P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ⋂ B)