Fundamentos de la Perpendicularidad y Construcciones Geométricas de Rectas Ortogonales

Definición de Perpendicularidad

Dos **rectas p y q** son perpendiculares cuando se cortan formando **ángulos iguales**, que se denominan **ángulos rectos**.

Mediatriz de un Segmento

La **mediatriz m** del segmento **AB** es la recta **perpendicular** al segmento que pasa por su **punto medio**.

Todo punto **P** perteneciente a la mediatriz **equidista** de los extremos **A** y **B** del segmento, cumpliendo: **PA = PB**. Esto indica que el **lugar geométrico** de los puntos del plano que equidistan de dos puntos fijos **A** y **B** es la recta **m**, mediatriz del segmento **AB** definido por dichos puntos.

Construcción de la Mediatriz de un Segmento AB

Para dibujar la mediatriz, seguimos los siguientes pasos:

1. Dibujamos dos puntos **P y Q** que equidisten de los extremos **A y B** del segmento.
2. Para lograrlo, trazamos dos **arcos** con igual radio y centros en **A y B**.
3. La intersección de estos arcos define los puntos **P y Q**.
4. La mediatriz **m** es la recta que une **P y Q** (recta **PQ**).

Trazado de una Recta Perpendicular (P en r)

A continuación, se presentan distintos métodos para trazar la recta **p** perpendicular a la recta **r**, pasando por un punto **P** que pertenece a **r**.

Métodos de Construcción

Método 1: Aplicando el Concepto de Mediatriz

1. Trazamos una **circunferencia** con centro en **P** y radio arbitrario, la cual corta a la recta **r** en los puntos **M** y **N**.

2. La recta **p** buscada es la **mediatriz** del segmento **MN**.

Método 2: Aplicando el Concepto de Arco Capaz

1. Consideramos un punto arbitrario **Q** (fuera de r).

2. Con centro en **Q**, trazamos una circunferencia de radio **QP** que corta a la recta **r** en otro punto, **M**.

3. La recta que pasa por **M** y **Q** (que es el diámetro) corta a la circunferencia en el punto **N**.

4. La recta perpendicular buscada es la definida por **P** y **N** (recta **PN**), ya que el ángulo **MPN** es recto (90º) por ser un **ángulo inscrito** que abarca un arco de 180º (el diámetro).

Método 3: Aplicando el Teorema de Pitágoras

Recordamos que tres números que cumplen el **Teorema de Pitágoras** se llaman **números pitagóricos**. La terna más sencilla es **3, 4 y 5**, ya que:

1. A partir del punto **P** (que se considera el origen o 0), trazamos un arco de radio arbitrario **01**, al que consideramos la unidad.

2. Trazamos cinco unidades consecutivas sobre la recta **r**, numeradas 1, 2, 3, 4, 5.

3. Con centro en **P**, dibujamos un arco de radio **P4** (4 unidades).

4. Con centro en el punto **3**, trazamos un arco de radio igual a cinco unidades (5 unidades).

5. Los arcos se cortarán en el punto **M**.

6. La recta **PM** es la perpendicular buscada, ya que el triángulo de vértices **3PM** es **rectángulo**, pues sus lados miden 3, 4 y 5 unidades, cumpliendo la relación pitagórica.

Método 4: Construcción Particular en el Extremo de un Segmento o Semirrecta

Esta construcción es una variante del Método 1 (aplicando el concepto de mediatriz).

1. Trazamos un arco de radio arbitrario con centro en **P**. Este arco corta a la recta en el punto **1**.
2. Con centro en **1** y manteniendo el mismo radio, obtenemos el punto **2** sobre el arco anterior.
3. Con centro en **2** (mismo radio), obtenemos el punto **3** sobre el mismo arco.
4. Con centro en **3** (mismo radio), obtenemos el punto **Q**.

La recta **PQ** es la perpendicular buscada. Se puede comprobar que **PQ** es la mediatriz del segmento de extremos **2** y **3**.

Trazado de una Recta Perpendicular (P fuera de r)

Este método se aplica cuando el punto **P** no pertenece a la recta **r**.

Esta construcción es una aplicación directa del concepto de **mediatriz**:

1. Se traza un arco de radio arbitrario con centro en **P** que corte a la recta **r** en dos puntos: **M** y **N**.
2. La **mediatriz** del segmento **MN** es la recta **p** buscada, que pasa por **P** y es perpendicular a **r**.