Fundamentos de las Operaciones, Composición e Inversa de Funciones

Ya estamos preparados para realizar operaciones de suma, resta, multiplicación y división de funciones, en la misma forma como se realiza en aritmética; lo diferente aquí es que trabajaremos con funciones. De manera que si tenemos dos funciones como f(x)=3x-2 y g(x) = x + 3, entonces, podemos sumarlas, restarlas, multiplicarlas y dividirlas, con la ayuda de las siguientes definiciones generales:

1 adición de funciones.
Si f y g son funciones, la suma f+ g es la función definida por (f+g)(x) =f (x) + g(x).
2 Sustracción de funciones.
Su diferencia f g es la función definida por (f-g)(x) = f(x) - g(x).
3 Producto de funciones.
El producto f g es la función definida por (f. G)(x) = f(x) • g(x).
(£)(x)-(x); 8(x)- 0
4 División de funciones.
Su cociente (£)(*)

Las funciones algebraicas son aquellas que pueden expresarse en
términos de un número
finito
de sumas,
diferencias, productos, cocientes y raíces conteniendo x".
Las funciones que no
son algebraicas se llaman transcendentes.

El dominio de la función resultante en cada operación se compone de los números que son comunes a ambos dominios de f y de g, pero los números x para los cuales g(x) = 0 deben excluirse del dominio del cociente.

La función compuesta de f con g, denotada fog; se lee: "f compuesta con g", es la función dada por: (fog) (x) = f(g(x)) para cada x elemento de A.
El dominio de fog es el conjunto de todos los x del dominio de tales que g(x) está en el dominio de f.
gof

El dominio de la función compuesta de "" con "g" es el conjunto de todos los elementos del dominio de "f" cuyas imágenes están en el dominio de "g".
La función compuesta (fog), se define como (fog)(x) = f(g(x))

Función compuesta de g con h

f(x) = g(h(x)),
f = goh

Funciones inversas:

Función uno a uno

Una función f es uno a uno si, para cualquier elección de números X y X2, X, X2 en el dominio de f, entonces f(x) = f(x).

Función implícita

Existen dos formas para poder representar las ecuaciones en dos variables.
• Cuando se expresan explícitamente, y = f (x).
Es decir, una de las dos variables se da explícitamente en términos de la otra

Una función creciente o decreciente es una función uno a uno

.
La gráfica de una función "f" y la de su inversa "f" son simétricas respecto a la recta y = x.

Pasos para determinar la función inversa de una función uno a uno.
Remplazar f(x) con y.
• Intercambiar las dos variables Xy Y.
• Despejar Y en la
ecuación.
• Remplazar Y con f(x).

Limite de funciones:

Fundamentalmente, puede decirse que un límite es algo que no puede sobrepasarse. En otras palabras, sería el estado final de una cosa.

• Cuando decimos que x tiende a un valor "c", significa que "x" toma una
sucesión de valores que tienden a "c", pero que no son iguales a "c".
• Si la diferencia entre f(x) y L puede hacerse tan pequeña como se quiere, toma cualquier valor "x" cercano a "c", es decir:
Lim f(x) = L
• &épsilon; (épsilon): representa un pequeño número positivo en el eje de las y.
.8 (delta): representa un pequeño número positivo en el eje de las x.