Fundamentos de Números Reales: Conjuntos, Orden, Errores y Radicales
Enviado por Programa Chuletas y clasificado en Matemáticas
Escrito el en 
español con un tamaño de 5,12 KB
Conjuntos Numéricos Fundamentales
Exploramos los principales conjuntos de números utilizados en matemáticas, sus definiciones y relaciones.
Números Naturales (N)
Son los números que utilizamos para contar: 1, 2, 3, 4, 5, ...
Números Enteros (Z)
Incluyen los números naturales, sus opuestos negativos y el cero: ..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...
Se cumple que N ⊂ Z.
Números Racionales (Q)
Son aquellos números que pueden expresarse como una fracción a/b, donde a y b son números enteros y b ≠ 0.
Incluyen:
- Números decimales finitos (ej. 0.5 = 1/2)
- Números decimales periódicos (puros y mixtos) (ej. 0.333... = 1/3, 0.1666... = 1/6)
Se cumple que Z ⊂ Q.
Números Irracionales (I)
Son números con infinitas cifras decimales no periódicas, y no pueden expresarse como una fracción (ej. π, √2, e).
Números Reales (R)
El conjunto de los números reales abarca la unión de los números racionales y los números irracionales: R = Q ∪ I.
Orden en los Números Reales (R)
La relación de orden en R nos permite comparar dos números reales.
Un número a es menor que un número b (a < b) cuando la diferencia b - a es positiva. Por el contrario, a es mayor que b (a > b) cuando b - a es negativa.
Propiedades Fundamentales de las Desigualdades
- Propiedad Transitiva: Si a ≤ b y b ≤ c, entonces a ≤ c.
- Propiedad de la Suma: Si a ≤ b, entonces a + c ≤ b + c para cualquier número real c.
- Propiedad de la Multiplicación:
- Si a ≤ b y c > 0, entonces a ⋅ c ≤ b ⋅ c.
- Si a ≤ b y c < 0, entonces a ⋅ c ≥ b ⋅ c.
Errores de Aproximación
Al trabajar con valores aproximados, es crucial cuantificar la magnitud del error.
Error Absoluto (Ea)
Es la diferencia positiva entre el valor exacto y el valor aproximado.
Ea = |Valor exacto - Valor aproximado|
Error Relativo (Er)
Es el cociente entre el error absoluto y el valor exacto (siempre que este no sea cero), expresado a menudo como porcentaje.
Er = Ea ÷ |Valor exacto|
Operaciones y Propiedades de Radicales
Los radicales son expresiones que involucran raíces de números.
Radicales Equivalentes
Dos radicales son equivalentes si representan el mismo valor numérico. Para obtener un radical equivalente a otro, basta con multiplicar o dividir el índice de la raíz y el exponente del radicando por el mismo número (distinto de cero).
Reducción de Radicales a Índice Común
Para que dos o más radicales tengan el mismo índice, se busca un mínimo común múltiplo (m.c.m.) de sus índices. Luego, se ajustan los exponentes de los radicandos para mantener la equivalencia, expresando los radicales como potencias con exponentes fraccionarios y un denominador común.
Producto de Radicales con Índice Distinto
Para multiplicar radicales con índices diferentes, primero se reducen a un índice común y, posteriormente, se multiplican los radicandos bajo el nuevo índice común.
Cociente de Radicales con el Mismo Índice
El cociente de radicales con el mismo índice es otro radical que conserva el índice común y tiene como radicando el cociente de los radicandos originales.
Cociente de Radicales con Índice Distinto
Similar al producto, primero se reducen los radicales a un índice común y, después, se dividen los radicandos bajo el nuevo índice común.
Recapitulación de Conjuntos Numéricos
A modo de resumen, volvemos a presentar los conjuntos numéricos fundamentales.
Números Naturales (N)
1, 2, 3, 4, 5
Números Enteros (Z)
..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...
Recordamos que N ⊂ Z.
Números Racionales (Q)
Se pueden expresar como fracción:
- Números decimales finitos
- Números decimales periódicos (puros y mixtos)
Recordamos que Z ⊂ Q.
Números Irracionales (I)
Números con infinitas cifras decimales no periódicas, y no se pueden expresar en fracción.
Números Reales (R)
R = Q ∪ I.