Fundamentos de los Números Complejos: Estructura, Formas y Aplicaciones

El Cuerpo C de los Números Complejos

Consideremos en el conjunto R² las operaciones de adición y producto definidas por:

Es sencillo comprobar las propiedades asociativa y conmutativa de las operaciones así definidas, así como la propiedad distributiva del producto respecto de la suma. El elemento neutro de la suma es (0,0) y (1,0) es la unidad del producto. Además, (−a,−b) es el opuesto de (a,b), y todo (a,b)≠(0,0) tiene inverso dado por la pareja

Definición 1: Terminología de los Elementos de R²

A los elementos de R² se les denomina de diversas maneras: pares ordenados de números reales, vectores, puntos, y también números complejos.

En R² conviven varias estructuras, cada una con su terminología propia. Por ello, a los elementos de R² se les llama:

• Vectores: si se considera la estructura de espacio vectorial.
• Puntos: si se fija la atención en la estructura topológica o afín.
• Pares ordenados: cuando se piensa en R² como un conjunto sin ninguna estructura particular.
• Números complejos: cuando se considera la estructura aritmética de cuerpo definida previamente.

Estos términos se usan a veces en un mismo párrafo, lo que puede resultar confuso. Por ello, a un elemento de R² se le llama número complejo específicamente cuando se va a utilizar el producto definido anteriormente.

Forma Binómica de los Números Complejos

Representaremos los números complejos con un simbolismo apropiado que involucra el producto complejo:

Esto indica que los números complejos de la forma (a, 0) se comportan como los números reales respecto a la suma y la multiplicación de números complejos.

Definición 2: La Unidad Imaginaria

Al número complejo (0,1) lo representaremos por i y lo denominaremos la unidad imaginaria.

Definición 3: Expresión Binómica

Se dice que a + bi es la expresión binómica del número complejo (a,b). En esta expresión, a es la parte real y b es la parte imaginaria del número complejo a + bi.

Definición 4: Notación y Igualdad de Números Complejos

Se utilizan las notaciones Re(z) e Im(z) para representar las partes real e imaginaria, respectivamente, de un número complejo z. Naturalmente, dos números complejos son iguales si y solo si tienen igual parte real e igual parte imaginaria.

Forma Polar de los Números Complejos

El uso de coordenadas polares en el plano facilita significativamente los cálculos con productos de números complejos. Para cualquier número complejo z = x + yi ≠ 0, podemos escribir:

Dado que (x/|z| + y/|z| i) es un punto de la circunferencia unidad, puede escribirse en la forma z = |z|(&cos;θ + i&sin;θ). Esta forma de expresar un número complejo recibe el nombre de forma polar o forma módulo-argumento, cuya interpretación gráfica es inmediata.

Dado z ∈ C, con z ≠ 0, existen infinitos números reales θ ∈ R que verifican la igualdad z = |z|(&cos;θ + i&sin;θ). Cualquiera de ellos recibe el nombre de argumento de z.

Definición 9: Argumento Principal

De entre todos los argumentos de un número complejo z ≠ 0, existe solo uno que se encuentra en el intervalo (−π, π]. Este se representa por arg(z) y se le denomina el argumento principal de z.