Fundamentos de los Momentos Estadísticos y Medidas de Dispersión

Definición de los Momentos Estadísticos (Centrados y No Centrados)

Los momentos son valores calculados a partir de la distribución de frecuencias. Son muy útiles ya que miden propiedades fundamentales de la variable observada.

Momentos No Centrados (Respecto al Origen)

Se define el momento no centrado, o respecto al origen, de orden r (a_r) como:

Fórmulas para Momentos No Centrados

• Para tablas con frecuencias:

  a_r = \frac{1}{n} \sum x_i^r n_i = \sum x_i^r f_i

• Para tablas sin frecuencias:

  a_r = \frac{1}{n} \sum x_i^r

El momento no centrado a_0 es igual a 1 en cualquier distribución de frecuencias. El momento no centrado a_1 se conoce también como media aritmética (\bar{x}).

Momentos Centrados (Respecto a la Media)

Se define el momento centrado, o respecto a la media, de orden r (m_r) como:

Fórmulas para Momentos Centrados

• Para tablas con frecuencias:

  m_r = \frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^r n_i = \sum (x_i - \bar{x})^r f_i

• Para tablas sin frecuencias:

  m_r = \frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^r

El momento centrado m_0 es igual a 1 y m_1 es igual a 0 en cualquier distribución de frecuencias. El momento centrado m_2 se conoce también como varianza (S^2).

Cálculo de Momentos Centrados a partir de Momentos No Centrados

El cálculo de los momentos centrados se puede realizar a partir de los momentos no centrados mediante las siguientes relaciones:

• m_2 = a_2 - a_1^2
• m_3 = a_3 - 3a_2 a_1 + 2a_1^3
• m_4 = a_4 - 4a_3 a_1 + 6a_2 a_1^2 - 3a_1^4

Medidas de Dispersión: Absolutas vs. Relativas

Las medidas de posición central nos informan sobre el comportamiento global de los datos de una variable estadística, tratando de representarlos con un solo valor. Esta información es insuficiente para conocer si dicha medida de posición central procede de datos cercanos a la misma o de datos muy dispares, es decir, si es más o menos representativa del conjunto de datos.

Las medidas de dispersión cuantifican esa separación o esparcimiento de los datos de una variable estadística.

Medidas de Dispersión Absoluta

Las medidas de dispersión absoluta son los recorridos (o rango), la varianza y la desviación típica.

Características:

• Dependencia de la Unidad: Estas dependen de las unidades de medida en las que se expresan los datos.
• Efecto de Escala: Les afecta un cambio de escala (por ejemplo, pasar de horas a minutos).
• Comparabilidad: Esto conlleva que no se puedan comparar sus valores en dos variables expresadas en distintas unidades de medida, y tampoco son fácilmente comparables incluso si están medidas en la misma unidad.

Conceptos Clave de Dispersión Absoluta

• Varianza (S^2): Mide la separación de los datos respecto de la media aritmética. Por lo tanto, nos informa sobre la mayor o menor representatividad de la media. Coincide con el momento centrado de orden 2 (m_2).
• Recorridos o Rango: Se define como la diferencia entre los valores extremos que presenta la variable.

Medidas de Dispersión Relativa

Las medidas de dispersión relativa son adimensionales, es decir, no dependen de las unidades de medida de las variables estadísticas.

Características:

• Invariabilidad de Escala: No les afecta un cambio de escala.
• Comparabilidad: Permiten comparar la dispersión de variables expresadas en distintas unidades de medida.
• Sensibilidad al Origen: Son invariables frente a un cambio de escala, pero sí les afecta un cambio de origen.

Coeficiente de Variación (CV)

La medida de dispersión relativa más utilizada es el coeficiente de variación (CV). Se define como el cociente de la desviación típica (S) entre la media aritmética (\bar{x}):

CV = \frac{S}{\bar{x}}