Fundamentos de Modelos Factoriales y Escalado Multidimensional: Teoría y Estimación de Coordenadas

Explicar detalladamente con todo detalle en que consiste el problema del escalado multidimensional y como dada una matriz de distancias se obtienen las coordenadas principales . 
El problema del escalado multidimensional consiste en dada una tabla de similiaridades y disimilaridades o destancias entre objetos, reconstruir clo mayor podible la matriz de datos x (dimentsion nxp) que han generado esas disimilaridades, similaridades o distancias. El procedimiento de obteener las coordenadas principales es: 1.Contruir una matriz Q. Obtener los autovalores de Q. 3. Tomar los r mayores autovalores donde r se elige de tal manera que los restantes n-r autovalores son mucho más pequeños que el resto. 4. Aproximar Q=(VrAr)^1/2(VrAr)^1/2'=YrYr' donde Yr son las coordenadas principales. 5. Calculamos m y si esta es mayor que 0,8 podemos decir que la precisión de la aproximación es adecuada.

Describir el modelo factorial con sus hipótesis básicas y explicar el problema de indeterminación del modelo

El propósito del análisis factorial es describir si es posible, las relaciones entre varias variables en términos de un pequeño número de variables llamadas factores. Es el método mas utilizado para describir las relaciones entre las variables latente sy los indicadores. El modelo factorial lo que supone es que x=mu+L-f+e (px1)+(pxm)(mx1)+(px1) donde L es la matriz de carga de dmension pxm. /// f es el vector aleatroio de variables latentes tal que E(f)=Om y Cov(f)=IM//&épsilon; es una variable de innovaciones, tal que E(e)=Op, Cov(e)=Y(rara) donde Yrara es la diagonal con elementos Y1,Y2..Yp.//El modelo facgorioal implica una estructura de covarianzas para la variable x Σ=LL+Y donde Σ=(p(p+1))/2 y L'L+Ψ para m

Describir el métodos de las componentes o factores principales para la estaimacion de la matriz de cargas

Este método esta basado en  la desxomposicion de la matriz de covatianzas del modelo factorial Σ=LL+ψ. La idea del método del comentetnes principal es estimar L y  utilizando la descomposición espectral de la matriz Sx. Sx=                                                                                             

La estimaciñon de la matriz de carga es

Mientras la estimaciñon de la matriz de unicidades es

donde LmLm es una matriz diagonal.

Explicar como obtener las puntuaciones de los factores con el método de mínimos cuadrados

En el método de mínimos cuadrados se asume que el vectore de los valores de los factores para cada observación es un parámetro a estimar. Tenemos

Entonces podemos estimar f minimizando la suma de cuadrados ponderada anterior. La solución es                                            . En la práctica para cada xi, para i=1,..,n tenemos la puntuación                             

Explicar cómo obtener las puntuaciones con el método de la regresión

En el método de la regresión suponemos que tanto los factores como las innovaciones son Gaussianas. Entonces se verifica que la variable multivariante conjunta (x',f') tiene distribución Gaussiana con vetore de medias Om+p y matriz de covarianzas

Podemos utilizar E[f|x como predicción del valor de las puntuaciones del factor correspondiente a la observación xi, para i=1,...,n tras sustituir las estimaciones de las matrices correspondiente