Fundamentos de Modelado Geológico: Anisotropía y Procesos Estocásticos

Introducción al Modelado de Dominios Geológicos

En la práctica, la utilización de softwares, como Vulcan o cualquier otro, es fundamental para construir los volúmenes de los Dominios Geológicos y Estacionarios.

Concepto de Anisotropía

Morris (1975) la define como: “propiedades que difieren de la dirección de medición”. Muchas variables presentan anisotropía; el desafío es encontrar, en la propiedad de interés, la continuidad de nuestro depósito.

Magnitud de la Anisotropía

• Se definen tres ejes en direcciones ortogonales.
• Implica una simplificación matemática.
• Los rangos definen un elipsoide.
• Las direcciones y los largos son definidos por el usuario.

Comúnmente se definen radios relativos a una dirección mediante la ecuación:

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$$

Variables y Procesos Aleatorios

Variable Aleatoria o Estocástica

(En Probabilidad y Estadística) Es una variable estadística cuyos valores se obtienen de mediciones en algún tipo de experimento aleatorio. Formalmente, una VA es una función que asigna a eventos números reales.

• Los valores posibles de una VA pueden representar posibles resultados de un experimento no realizado.
• Representan posibles valores de una cantidad cuyo valor, actualmente, es incierto, como resultado de una medición incompleta y/o imprecisa.
• Intuitivamente, una VA puede tomarse como una cantidad cuyo valor no es fijo, pero puede tomar diferentes valores.

La Distribución de Probabilidad se utiliza para describir la probabilidad de que se den los diferentes resultados. Las VA suelen tomar valores reales, pero se pueden considerar como valores aleatorios, valores lógicos o funciones.

Elemento Aleatorio y Proceso Estocástico

El término Elemento Aleatorio se utiliza para englobar todos esos tipos de conceptos relacionados con lo aleatorio.

El Proceso Estocástico (PE) es un conjunto de VAs ordenadas (por tiempo u orden). El PE es un concepto matemático que sirve para caracterizar una sucesión de VAs que evolucionan en función de otra variable.

• El Dominio de esta función es el espacio muestral, que es el campo de variabilidad del suceso elemental.
• El Recorrido es el campo de los números reales.

Tipos de Estacionaridad en Procesos Estocásticos

Procesos Estocásticos Estacionarios

Es un proceso cuya distribución de probabilidad en un instante de tiempo fijo o de una posición fija es la misma para todos los instantes de tiempos o posiciones. Por lo tanto, parámetros como media y varianza existen y no varían a lo largo del tiempo o posición. Ejemplo: Procesos Geológicos.

Procesos Estocásticos NO Estacionarios

Ejemplos incluyen Índices de Precios, Precios de Commodities, índices de bolsas y financieros en general, los cuales no se pueden predecir con certeza.

Estacionaridad de Segundo Orden

Una Función Aleatoria (FA) se dice estacionaria de 2do orden cuando la Estacionaridad de la Covarianza implica la estacionaridad de la Varianza y del Variograma.

Estacionaridad Intrínseca

Una FA se dice estacionaria intrínseca cuando los incrementos son estacionarios, pero la Covarianza no lo es.

Fluctuaciones Ergódicas e Incertidumbre Muestral

Dado que los modelos estadísticos son inferidos desde una muestra estadística, que es incierta debido a que el tamaño de la muestra es limitado, no es posible obtener especificaciones exactas del modelo estadístico.

La Estacionaridad de una FA se dice ser “Ergódica” en el parámetro $\mu$ (media), si la correspondiente realización estadística tiende a $\mu$ a medida que el tamaño del campo se incrementa.

Las Fluctuaciones Ergódicas permiten dar cuenta indirectamente de la incertidumbre sobre la muestra estadística. Remover las Fluctuaciones Ergódicas puede conducir a una falsa sensación de certidumbre.

Noción que tiene que ver con que una FA es ERGÓDICA si:

Los resultados de las estadísticas experimentales calculadas sobre una realización en particular (Histograma y Variograma) CONVERGEN hacia las estadísticas del Modelo ESTADÍSTICO (EDA) cuando el dominio se vuelve muy grande.

Variable Aleatoria en Geología

En geología, los procesos son de naturaleza Aleatoria o Estocásticos de Tipo Estacionarios de Segundo Orden.

Propósitos del Tratamiento Estadístico de Datos

Objetivos del Tratamiento Estadístico de Datos

El objetivo principal es el tratamiento de datos en diferentes formas, buscando:

1. Profundizar en los datos: poblaciones estadísticas vs. geológicas.
2. Determinar Poblaciones Geológicas.
3. Determinar Distribuciones Estacionarias.
4. Hacer la Decisión de Estacionaridad.
5. Identificar Derivas.
6. Asegurar la calidad de los datos y resumir parte de la información contenida en ellos.
7. Familiarizarse con los datos teniendo en cuenta la geología subyacente.