Fundamentos de Microeconomía: Derivadas, Equilibrios y Bienestar

Documento de Revisión: Conceptos Clave en Microeconomía

I. Derivadas y Análisis de Sensibilidad (RMS/q)

Demostración 1: $\frac{\partial RMS}{\partial q_1}$

Partimos de la relación: $D_{RMS} = \frac{d_{RMS}}{dq_1} q_1 + \frac{d_{RMS}}{dq_2} q_2 = -\frac{dq_2}{dq_1} = \frac{f_1}{f_2}$.

Objetivo: Calcular la variación de $\frac{RMS}{q_1}$:

$$\frac{\partial RMS}{\partial q_1} = \frac{\partial rms}{\partial q_1} \frac{dq_1}{dq_1} + \frac{\partial rms}{\partial q_2} \frac{dq_2}{dq_1}$$

Sustituyendo $RMS = \frac{f_1}{f_2}$ y $\frac{dq_2}{dq_1} = -\frac{f_1}{f_2}$:

$$\frac{\partial (f_1/f_2)}{\partial q_1} \cdot 1 + \frac{\partial (f_1/f_2)}{\partial q_2} \cdot \left(-\frac{f_1}{f_2}\right)$$

Aplicando la regla del cociente (donde $f_{ij} = \frac{\partial^2 f_i}{\partial q_i \partial q_j}$):

$$= \left[\frac{f_{11}f_2 - f_{21}f_1}{f_2^2}\right] + \left[\frac{f_{12}f_2 - f_{22}f_1}{f_2^2}\right] \cdot \left(-\frac{f_1}{f_2}\right)$$

$$= \frac{f_{11}f_2^2 - f_{21}f_1f_2}{f_2^3} + \frac{-f_{12}f_2f_1 + f_{22}f_1^2}{f_2^3}$$

$$\frac{\partial RMS}{\partial q_1} = \frac{1}{f_2^3} \left[ f_{11}f_2^2 - 2f_{12}f_1f_2 + f_{22}f_1^2 \right] < 0$$

• Si $q_1$ sube, $RMS$ baja. Si $q_1$ baja, $RMS$ sube.

La matriz asociada es: $M_1 = -f_{11}f_2^2 – f_{22}f_1^2 + 2f_{12}f_2f_1 > 0$.

Demostración 2: $\frac{\partial RMS}{\partial q_2} > 0$

$$\frac{\partial RMS}{\partial q_2} = \frac{\partial rms}{\partial q_1} \frac{dq_1}{dq_2} + \frac{\partial rms}{\partial q_2} \frac{dq_2}{dq_2}$$

Sabiendo que $\frac{dq_1}{dq_2} = -\frac{f_2}{f_1}$ (ya que $\frac{dq_2}{dq_1} = \frac{f_1}{f_2}$):

$$\frac{\partial (f_1/f_2)}{\partial q_1} \cdot \left(-\frac{f_2}{f_1}\right) + \frac{\partial (f_1/f_2)}{\partial q_2} \cdot 1$$

$$= \left[\frac{f_{11}f_2 - f_{21}f_1}{f_2^2}\right] \cdot \left(-\frac{f_2}{f_1}\right) + \left[\frac{f_{12}f_2 - f_{22}f_1}{f_2^2}\right]$$

$$= \frac{-f_{11}f_2^2 + f_{21}f_1f_2}{f_2^2f_1} + \frac{f_{12}f_2f_1 - f_{22}f_1^2}{f_2^2f_1}$$

$$\frac{\partial RMS}{\partial q_2} = \frac{1}{f_2^2f_1} \left[ -f_{11}f_2^2 + 2f_{12}f_1f_2 - f_{22}f_1^2 \right] > 0$$

• Si $q_2$ sube, $RMS$ sube. Si $q_2$ baja, $RMS$ baja.

La matriz asociada es: $M_2 = -f_{11}f_2^2 – f_{22}f_1^2 + 2f_{12}f_2f_1 > 0$.

Efectos de Sustitución y Renta (Slutsky)

El RTS es igual cambiando $q_1 \to x_1$, $q_2 \to x_2$.

Efectos Directos $T_{11}$ o $22 = R_{11} + S_{11}$

• $R_{11}$ (Efecto Renta): $q_1$ normal: $-$; $q_1$ inferior: $+$; $q_1$ neutro: $0$.
• $S_{11}$ (Efecto Sustitución): Siempre $-$.
• $T_{11}$: Si $q_1$ ordinario: baja $P_1$ sube $q_1$ ($-$). Si $q_1$ Giffen: baja $P_1$ baja $q_1$ ($+$).

Efectos Cruzados $T_{12}$ o $21 = R_{21} + S_{21}$

• $R_{21}$ (Efecto Renta): $q_2$ normal: $-$; $q_2$ inferior: $+$; $q_2$ neutro: $0$.
• $S_{21}$ (Efecto Sustitución): Siempre $+$.
• $T_{21}$: Si $Q_1$ ordinario:
  • baja $P_1$, sube $q_1$, baja $q_2$ ($+$): $q_1, q_2$ sustitutivos brutos.
  • baja $P_1$, sube $q_1$, sube $q_2$ ($- $): $q_1, q_2$ complementarios brutos.
  • baja $P_1$, sube $q_1$, $q_2$ cte ($0$): $q_1, q_2$ independientes.
• Si $Q_1$ es Giffen (Obligatorio $T_{21} - $): baja $P_1$, baja $q_1$, sube $q_2$ ($+$): $q_1, q_2$ Sustitutivos brutos.

II. Monopolio y Discriminación de Precios

Monopolio Discriminador de Precios

El monopolista fija precios distintos para un mismo bien en función del mercado ($mdo$) en el que opera. Aunque tenga monopolio sobre el producto, el precio no será el mismo si el bien es necesario o de lujo.

Beneficio: $Bº = IT(q_1) + IT(q_2) – CT(q)$, donde $q = q_1 + q_2$.

Condiciones de Primer Orden (CPO) para maximizar $Bº$:

1. $M_1$: $\frac{\partial Bº}{\partial q_1} = \frac{\partial IT(1)}{\partial q_1} – \frac{\partial CT}{\partial q} = 0 \implies IMa_1 = CMa$.
2. $M_2$: $\frac{\partial Bº}{\partial q_2} = \frac{\partial IT(2)}{\partial q_2} – \frac{\partial CT}{\partial q} = 0 \implies IMa_2 = CMa$.

Equilibrio del monopolio discriminador de precios: $IMa_1 = IMa_2 = CMa$.

Se requieren 3 gráficas de $P, Q$: Mercado 1 (necesario), Mercado 2 (lujo), y el equilibrio agregado.

Medidas de Bienestar: Demanda Compensada y Equivalente

Demanda Equivalente

Objetivo: Calcular la disminución de la renta ($\Delta Y$) equivalente a la pérdida de bienestar que sufre el consumidor al incrementarse el precio.

El consumidor terminará situado en la nueva Recta Presupuestaria $RP'$ y obtendrá una nueva utilidad $u'$.

Si $(Y^º, P_1^º, P_2^º) \to E^º (q_1, q_2)$ con $RP^º: Y^º = q_1P_1 + q_2P_2$. Si sube $P_1$ ($P_1 > P_1^º$):

• Equivalente: Baja la renta ($Y^º > Y_{equiv}$), manteniendo la utilidad final $u'$.

La demanda equivalente se relaciona con la Demanda Compensada.

Demanda Compensada (o Hicksiana)

Objetivo: Calcular el incremento de la renta necesaria para compensar la pérdida de bienestar que sufrirá el consumidor al incrementar el precio, de modo que el equilibrio de Hicks se mantenga sobre la utilidad inicial $u^º$ (y no sobre la nueva $u'$).

Si $(Y^º, P_1^º, P_2^º) \to E^º (q_1, q_2)$ con $RP^º: Y^º = q_1P_1 + q_2P_2$. Si sube $P_1$ ($P_1 > P_1^º$):

• Compensada: Sube la renta ($Y > Y^º$); $U^º$ constante. Se alcanza el equilibrio $E^h (q_{1h}, q_{2h})$ sobre la utilidad inicial $u^º$.

Recta de renta compensada $RP^h: Y' = q_1P_1 + q_2P_2$. Recta de gasto $RPe: Y' = q_{1h}P_1 + q_{2h}P_2$ (un punto).

Se recomienda la gráfica en el espacio $(q_2, q_1)$.

III. Equilibrios del Consumidor

1. Equilibrio del Consumidor (Estático)

Objetivo: Maximizar $U = f(q_1, q_2)$ sujeto a la restricción presupuestaria: $Y^º = q_1P_1^º + q_2P_2^º$.

Función Lagrangiana: $L = f(q_1, q_2) + \lambda (Y^º - q_1P_1^º - q_2P_2^º)$.

Condiciones de Primer Orden (CPO):

• $\frac{\partial L}{\partial q_1} = f_1 - \lambda P_1^º = 0 \implies \lambda = \frac{f_1}{P_1^º}$.
• $\frac{\partial L}{\partial q_2} = f_2 - \lambda P_2^º = 0 \implies \lambda = \frac{f_2}{P_2^º}$.

Igualando $\lambda$: $\frac{f_1}{P_1^º} = \frac{f_2}{P_2^º} \implies \frac{f_1}{f_2} = \frac{P_1^º}{P_2^º}$.

Esto implica que la Tasa Marginal de Sustitución ($RMS$) es igual a la pendiente de la Restricción Presupuestaria ($PTE_{EB}$).

• $\frac{\partial L}{\partial \lambda} = Y^º - q_1P_1^º - q_2P_2^º = 0$.

Condición de Segundo Orden (CSO): Equilibrio (tangencia): $\frac{f_1}{f_2} = \frac{P_1^º}{P_2^º}$. Condición de Balance: $Y^º = q_1P_1^º + q_2P_2^º$.

Se grafica en el espacio $(q_2, q_1)$.

3. Equilibrio Consumo-Ocio

Objetivo: Maximizar $U = U(D, C)$ (D=tiempo de ocio, C=consumo) sujeto a la restricción temporal y presupuestaria.

Restricción: $P \cdot C = Y^º + W(24 - D)$ (donde $W$ es el salario y $24-D$ es el tiempo de trabajo).

Lagrangiana: $L = U(D, C) + \lambda [Y^º + W(24 - D) - P \cdot C]$.

CPO:

• $\frac{\partial L}{\partial D} = U_D - \lambda W = 0 \implies \lambda = \frac{U_D}{W}$.
• $\frac{\partial L}{\partial C} = U_C - \lambda P = 0 \implies \lambda = \frac{U_C}{P}$.

Igualando $\lambda$: $\frac{U_D}{W} = \frac{U_C}{P} \implies \frac{U_D}{U_C} = \frac{W}{P}$.

$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = Y^º + W(24 - D) - P \cdot C = 0$.

Se grafica en el espacio $(C, D)$. Se analizan los casos $Y^º=0$ y $Y^º>0$.

3. Equilibrio Consumo Intertemporal

Objetivo: Maximizar $U = U(C_1, C_2)$ sujeto a la restricción intertemporal: $Y_1(1+r) + Y_2 = C_1(1+r) + C_2$.

Lagrangiana: $L = U(C_1, C_2) + \lambda [Y_1(1+r) + Y_2 - C_1(1+r) - C_2]$.

CPO:

• $\frac{\partial L}{\partial C_1} = U_1 - \lambda (1+r) = 0 \implies \lambda = \frac{U_1}{1+r}$.
• $\frac{\partial L}{\partial C_2} = U_2 - \lambda = 0 \implies \lambda = U_2$.

Igualando $\lambda$: $\frac{U_1}{1+r} = U_2 \implies \frac{U_1}{U_2} = (1+r)$.

$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = Y_1(1+r) + Y_2 - C_1(1+r) - C_2 = 0$.

Se grafica en el espacio $(C_2, C_1)$. El equilibrio $E^º$ determina si el agente es prestamista ($C_1^º < Y_1^º$) o prestatario ($C_1^º > Y_1^º$).

IV. Teoría de la Producción y Costes

4. Equilibrio Óptimo de Producción

Objetivo: Maximizar Beneficio $Bº = IT – CT = p \cdot q – CT$.

Opción 1: Maximizar Producción (Restricción de Costes)

Objetivo: Max $q = f(x_1, x_2)$ sujeto a $C^º = F + r_1^ºx_1 + r_2^ºx_2$.

Lagrangiana: $L = f(x_1, x_2) + \lambda [C^º - F - r_1^ºx_1 - r_2^ºx_2]$.

CPO:

• $\frac{\partial L}{\partial x_1} = f_1 - \lambda r_1^º = 0 \implies \lambda = \frac{f_1}{r_1^º}$.
• $\frac{\partial L}{\partial x_2} = f_2 - \lambda r_2^º = 0 \implies \lambda = \frac{f_2}{r_2^º}$.

Igualando $\lambda$: $\frac{f_1}{r_1^º} = \frac{f_2}{r_2^º} \implies \frac{f_1}{f_2} = \frac{r_1^º}{r_2^º}$. (La pendiente de la isocuanta = pendiente de la isocoste).

Se grafica en el espacio $(x_2, x_1)$.

Opción 2: Minimizar Costes (Restricción de Producción)

Objetivo: Min $C = F + r_1^ºx_1 + r_2^ºx_2$ sujeto a $q^º = f(x_1, x_2)$.

Lagrangiana: $Z = F + r_1^ºx_1 + r_2^ºx_2 + \mu [q^º - f(x_1, x_2)]$.

CPO:

• $\frac{\partial Z}{\partial x_1} = r_1^º - \mu f_1 = 0 \implies \mu = \frac{r_1^º}{f_1}$.
• $\frac{\partial Z}{\partial x_2} = r_2^º - \mu f_2 = 0 \implies \mu = \frac{r_2^º}{f_2}$.

Igualando $\mu$: $\frac{r_1^º}{f_1} = \frac{r_2^º}{f_2} \implies \frac{f_1}{f_2} = \frac{r_1^º}{r_2^º}$.

$\frac{\partial Z}{\partial \mu} = q^º - f(x_1, x_2) = 0$.

Se busca la isocoste más cercana al origen en la gráfica $(x_2, x_1)$.

Funciones de Coste

• Coste Total: $CT = CF + CV$. $CT = l(q) + CF$ (donde $l(q)$ son costes variables).
• Coste Medio Total: $CMET = \frac{CT}{q} = CMEV + CMEF$.
• Coste Medio Variable: $CMEV = \frac{CV}{q}$.
• Coste Medio Fijo: $CMEF = \frac{CF}{q}$.
• Coste Marginal: $CMA = \frac{dCT}{dq} = \frac{d(l(q) + CF)}{dq} = \frac{dl(q)}{dq}$.

V. Equilibrios en Mercados

5. Equilibrio en Competencia Perfecta

Condición de maximización de beneficio: $IMa = IMg = CMa = P$.

1. Maximizar $Bº$ (vía $IT-CT$): $\frac{dBº}{dq} = \frac{dIT}{dq} - \frac{dCT}{dq} = 0 \implies IMa = CMa$.
2. Maximizar $Bº$ (vía $P\cdot Q - CT$): $\frac{dBº}{dq} = P\frac{dq}{dq} - \frac{dCT}{dq} = 0 \implies P = CMa$.
3. Ingreso Total: $IT = P \cdot Q$. Ingreso Marginal: $IMa = \frac{dIT}{dq} = P$. Ingreso Medio: $IMe = \frac{IT}{Q} = P$.

Se grafica en el espacio $(P, Q)$.

7. Equilibrio en Monopolio

Maximizar $Bº$: $Bº = IT – CT$. Condición de Primer Orden: $\frac{dBº}{dq} = \frac{dIT}{dq} - \frac{dCT}{dq} = 0 \implies IMa = CMa$.

El monopolista produce la cantidad donde $IMa = CMa$ y fija el precio en la curva de demanda correspondiente.

Se grafica en $(P, Q)$, mostrando los casos $Bº>0$ y $Bº=0$.

6. Equilibrio en Mercado Competitivo a Corto Plazo

Muchos oferentes y demandantes, información perfecta, precio dado por el mercado. A largo plazo, las empresas pueden salir y entrar libremente.

Condición: $P = CMa$.

Curva de Oferta (Corto Plazo):

1. Si $P < P_{cierre}$ (mínimo $CF$): Cerrar empresa (Oferta = 0).
2. Si $P_{cierre} \le P < P_{equilibrio}$ (mínimo $CMEV$): Producir donde $P = CMa$, pero solo si $P \ge \min(CMEV)$. Si $P < \min(CMEV)$, la empresa cierra.
3. Si $P = \min(CMEV)$: Punto de cierre.
4. Si $P > \min(CMEV)$: Se produce donde $P = CMa$.

Se grafica en $(P, Q)$ con curvas $D$ y $S$.

Incidencias de Impuestos ($t$) y Subvenciones ($s$)

Si $(Y^º, P_1^º, P_2^º)$ con $Y^º = q_1P_1^º + q_2P_2^º$.

• Impuesto ($t$) por unidad de $q_1$: $t \cdot q_1$. La restricción se vuelve $Y^º = q_1(P_1^º+t) + q_2P_2^º$. El precio percibido por el vendedor sube.
• Impuesto Fijo ($T$): $Y^º - T = q_1P_1^º + q_2P_2^º$. Disminuye la renta efectiva ($Y$).
• Impuesto ($t$) sobre el valor de compra de $q_2$: $t(q_2P_2^º)$. La restricción se vuelve $Y^º = q_1P_1^º + q_2P_2^º(1+t)$. El precio percibido por el vendedor sube.
• Subvención ($s$) por unidad de $q_2$: $s \cdot q_2$. La restricción se vuelve $Y^º = q_1P_1^º + q_2(P_2^º-s)$. El precio percibido por el vendedor baja.
• Subvención Fija ($S$): $Y^º + S = q_1P_1^º + q_2P_2^º$. Aumenta la renta efectiva ($Y$).
• Subvención ($s$) sobre el valor de compra de $q_1$: $s(q_1P_1^º)$. La restricción se vuelve $Y^º = q_2P_2^º + q_1P_1^º(1-s)$. El precio percibido por el vendedor baja.

En el contexto de competencia perfecta, se analizan las incidencias en $(P, Q)$ para demandas y ofertas normales, rígidas (inelásticas) y elásticas, identificando la Pérdida de Eficiencia Irrecuperable (PEI).

Excedentes en Competencia Perfecta

Se grafica en $(P, Q)$ con oferta ($S^º$) y demanda ($D^º$).

• Excedente del Productor ($EP$): Beneficio extraordinario obtenido por pertenecer a un mercado en competencia perfecta. Diferencia entre el precio al que están dispuestos a vender y el precio al que realmente venden. (Área bajo el precio de equilibrio y sobre la curva de oferta).
• Excedente del Consumidor ($EC$): Diferencia entre el precio al que el consumidor está dispuesto a comprar y el precio al que realmente compra. (Área bajo la curva de demanda y bajo el precio de equilibrio).
• Excedente Total ($ET$): $ET = EC + EP$. Representa el bienestar total generado en el mercado.

Externalidades y Bienes Públicos

Externalidades

Efectos colaterales positivos o negativos derivados de la producción o consumo.

A) Externalidades de Consumo (Afectan a la Demanda):

• Positiva (Ej: Vacuna): La demanda social sube. $Bº_{social} = Bº_{privado} + Bº_{externalidad}$.
• Negativa (Ej: Tabaco): La demanda se desplaza a la izquierda. $Bº_{social} = Bº_{privado} – Bº_{externalidad}$. Se debe producir para que sea eficiente socialmente.

B) Externalidades de Producción (Afectan a la Oferta):

• Positiva (Ej: Empresa que genera empleo): Costes privados mayores que sociales. $C_{social} = C_{privado} – C_{externalidad}$. La oferta se desplaza a la derecha.
• Negativa (Ej: Empresa que contamina): Costes privados menores que sociales. $C_{social} = C_{privado} + C_{externalidad}$. La oferta se desplaza a la izquierda.

Bienes Públicos

Un bien es público si cumple los principios de no rivalidad y no exclusión (Ej: Defensa nacional, farola de la calle). Si no cumple uno o ambos, es un bien privado.

Apéndice: Tipos de Preferencias

• Preferencias Regulares: $U^º = 2q_1q_2^2$.
• Sustitutos Perfectos: $U^º = 2q_1 + 1q_2$. El consumidor prefiere $q_1$ o $q_2$ según precios relativos.
• Complementos Perfectos: $U^º = \min(3q_1, 1q_2)$. Se consumen en proporción fija: $3q_1 = q_2$.
• $Q_1$ Neutral: $U^º = q_2$. La utilidad solo depende de $q_2$. $q_2 = Y^º/P_2^º$.
• Bien Mal: Aquel que afecta negativamente a la utilidad. Para $U^º = cte$, ante incrementos del bien mal ($q_2$), debe incrementarse el otro bien ($q_1$). Ejemplo: $U^º = aq_1 - bq_2$ ($a, b > 0$). Pendiente de la isocuanta: $\frac{dq_2}{dq_1} = \frac{a}{b}$. Cuanto más se aleje del bien mal, mayor utilidad.