Fundamentos de Métodos Numéricos para Resolución de Sistemas Lineales

Propiedades de las Matrices

• Diagonal dominante: La suma en valor absoluto de los términos de una fila debe ser menor que el término de la diagonal principal.
• Estrictamente diagonal dominante: |a_ii| > Σ |a_ij| para j ≠ i.
• Simétrica: A = A^T.
• Definida positiva: Todos los valores propios de la matriz son > 0 y sus menores principales son > 0.
• Radio espectral (ρ): El mayor valor propio en valor absoluto de una matriz.

Normas Matriciales

• Norma 1: Máximo de la suma por columnas.
• Norma 2 (Espectral): √ρ(A^T * A). Es la norma más pequeña.
• Norma infinito: Máximo de la suma por filas. Es la que más se aproxima a la realidad.
• Propiedad: Para cualquier norma, ρ(A) ≤ ||A||.

Errores y Condicionamiento

• Error residual: ||A * x_aprox - b||. Minimizarlo no garantiza que el error absoluto sea pequeño.
• Error absoluto: ||x - x_aprox||.
• Error relativo: ||x - x_aprox|| / ||x||.
• Condicionamiento K(A): ||A|| * ||A^-1||. Un valor alto indica que pequeñas perturbaciones en la entrada provocan grandes cambios en la solución.

Métodos Directos

Gauss

El objetivo es obtener una matriz triangular superior U para resolver Ux = c. El costo computacional es aproximadamente (2n³)/3 operaciones. Se recomienda el uso de estrategias de pivotaje (parcial o total) para evitar errores de redondeo y garantizar estabilidad.

Factorización LU

Si los menores principales son no nulos, la descomposición es única. Se resuelve mediante dos pasos: 1) Ly = b, 2) Ux = y. Con pivotaje parcial, se utiliza PA = LU.

Cholesky

Requisito: Matriz simétrica y definida positiva. Su estructura es A = L * L^T. Es más eficiente que Gauss, con un costo de n³/6.

Métodos Iterativos

La fórmula general es x^k+1 = B * x^k + C. La convergencia requiere que el radio espectral ρ(B) < 1.

• Jacobi: Método de desplazamientos simultáneos. B_j = D^-1 * (L + U).
• Gauss-Seidel: Método de desplazamientos sucesivos, generalmente más rápido que Jacobi. B_gs = (D - L)^-1 * U.
• Relajación (SOR): Utiliza un parámetro w para acelerar la convergencia.

Problemas de Contorno Estacionario

• Dirichlet: u(a) = α, u(b) = β.
• Neumann: u'(a) = α, u'(b) = β.
• Robin: -u'(a) + g₀ * u(a) = α, u'(b) + g₁ * u(b) = β.

Análisis de Convergencia y Error

El orden de convergencia p se calcula mediante la fórmula: p = ln(E_n+1 / E_n+2) / ln(E_n / E_n+1). Para métodos iterativos, el número de iteraciones N necesario para alcanzar una tolerancia 10^-t se estima mediante N ≥ -t / log₁₀(√^k||B^k||).