Fundamentos de Mecánica de Sólidos y Resistencia de Materiales

Conceptos Fundamentales de Mecánica

Producto Vectorial y Producto Mixto

• Producto Vectorial (Producto Cruz) de Dos Vectores

  El producto vectorial u x v es otro vector perpendicular al plano formado por u y v. Su sentido se determina por la regla del sacacorchos, girando de u hacia v. Su módulo es |u x v| = |u| * |v| * sen(θ), donde θ es el ángulo entre u y v.

• Producto Mixto (Producto Escalar Triple) de Tres Vectores

  El producto mixto (u · v x w) es un escalar que resulta del producto escalar del primer vector por el producto vectorial de los otros dos. Su valor absoluto representa el volumen del paralelepípedo cuyas aristas son los tres vectores concurrentes en un mismo vértice.

Propiedades del Estado Tensional

Considerando una pieza en condiciones de trabajo, se analizan dos secciones perpendiculares. La suma de las tensiones normales (σ) en direcciones perpendiculares es constante. Las tensiones tangenciales (τ) ligadas a planos perpendiculares son iguales en magnitud y opuestas en sentido.

Ley de Hooke

El alargamiento o compresión de un muelle es directamente proporcional al módulo de la fuerza aplicada, siempre y cuando no se exceda su límite elástico (es decir, si el muelle no se deforma permanentemente). La fórmula es F = k(x - x₀), donde F es la fuerza, k es la constante elástica del muelle, x es la longitud final y x₀ es la longitud inicial.

Momento de Inercia y Conceptos Relacionados

Definición y Propiedades del Momento de Inercia

El momento de inercia es una medida de la resistencia de un cuerpo a la rotación alrededor de un eje. Para una masa puntual, es el producto de la masa por el cuadrado de su distancia al eje. Es una medida de la inercia rotacional total de un cuerpo. Si un cuerpo gira en torno a un eje principal de inercia, la inercia rotacional se representa como una magnitud escalar. Para un área, el momento de inercia respecto al eje x es Iₓ = ∫ y² dA.

Relaciones entre Momentos de Inercia

• El momento polar de inercia (I_p) respecto a un punto en el plano es la suma de los momentos de inercia respecto a dos ejes ortogonales que pasan por ese punto: I_p = I_x + I_y.
• Para un cuerpo tridimensional, el momento de inercia respecto al eje x es Iₓ = ∫ (y² + z²) dm.

Par de Fuerzas

Un par de fuerzas consiste en dos fuerzas de igual módulo, con rectas de acción paralelas y sentidos opuestos. Un par de fuerzas no produce desplazamiento (traslación) pero sí rotación. El momento del par (M₀) es el producto del módulo de una de las fuerzas por la distancia perpendicular entre sus líneas de acción: M₀ = F * d.

Centros de Masa, Gravedad y Centroide

• Centro de Gravedad (CG)

  El centro de gravedad es un concepto que depende de la distribución de la masa del cuerpo y del campo gravitatorio en el que se encuentra. Es el punto en el espacio donde se puede considerar que actúa la fuerza resultante de la gravedad sobre el sistema. Su posición se calcula como CG = (Σ Cᵢ * Pᵢ) / P_t, donde Cᵢ es la posición del centro de gravedad de cada parte, Pᵢ es el peso de cada parte y P_t es el peso total.

• Centro de Masa (CM)

  El centro de masa es un punto en el espacio que depende únicamente de la distribución de la masa del cuerpo. Es el punto donde se puede considerar que está concentrada toda la masa del sistema para fines de análisis de movimiento. Su posición se calcula como CM = (Σ Yᵢ * mᵢ) / m_t (para una coordenada), donde Yᵢ es la posición de cada masa, mᵢ es la masa de cada parte y m_t es la masa total.

• Centroide (Centro de Forma)

  El centroide es el centro geométrico de una figura o volumen. Depende únicamente de la forma del sistema y coincide con el centro de masa si el material es homogéneo y el campo gravitatorio es uniforme.

Aplicaciones en Resistencia de Materiales

Torsión en Ejes Circulares

La torsión es el efecto de un momento torsor sobre un eje. La relación entre el momento torsor (T), el esfuerzo cortante (τ) y el ángulo de giro (φ) se rige por la fórmula τ = (T * r) / J, donde J es el momento polar de inercia. Para un eje circular sólido, J = (π/32) * D⁴. Para un eje circular hueco, J = (π/32) * (D_e⁴ - D_i⁴), donde D_e y D_i son los diámetros exterior e interior, respectivamente.

Tensiones en Tanques Cilíndricos Sometidos a Presión Interna

En un tanque cilíndrico de pared delgada sometido a presión interna (P), se desarrollan dos tipos principales de tensiones normales:

• Tensión Longitudinal (σ_L o σ_x): Actúa a lo largo del eje del cilindro. Su fórmula es σ_L = (P * r) / (2 * h).
• Tensión Tangencial (Circunferencial o Hoop Stress, σ_T o σ_y): Actúa alrededor de la circunferencia del cilindro. Su fórmula es σ_T = (P * r) / h.

Resorte Helicoidal

En un resorte helicoidal, una fuerza axial (P') aplicada genera un momento torsor (M_t) en la espira del resorte. Este momento torsor se calcula como M_t = P' * R, donde R es el radio medio de la espira del resorte. La tensión cortante (τ) en el alambre del resorte se calcula como τ = (M_t * r) / J, donde r es el radio del alambre y J es el momento polar de inercia de la sección transversal del alambre (para un alambre circular, J = (π/32) * d⁴). El momento torsor (M_t) en el alambre del resorte se genera por la fuerza axial. Su sentido (horario o antihorario) depende de la dirección de la fuerza y la geometría del resorte. En compresión, el momento torsor tiende a desenrollar el resorte. La compresión total (δ) de un resorte helicoidal bajo una carga P' se puede calcular como δ = (64 * P' * R³ * n) / (G * d⁴), donde n es el número de espiras activas, G es el módulo de rigidez del material y d es el diámetro del alambre. La energía de deformación almacenada (E) en un resorte es E = (1/2) * K * x², donde K es la constante elástica del resorte y x es la deformación.

Tensión Cortante Pura

La tensión cortante pura es un estado tensional en el que, fijado un plano, solo actúan tensiones tangenciales (τ) sobre él, siendo las tensiones normales (σ) nulas. En este estado, las tensiones cortantes en planos perpendiculares son iguales en magnitud (τ_xy = τ_yx), y las tensiones normales son nulas (σ_x = σ_y = 0). Un elemento sometido a tensión cortante pura se deforma angularmente, transformando un cuadrado en un rombo.

Tensión Normal en Flexión

La tensión normal en flexión (σ) es la deformación que presenta un elemento estructural alargado (como una viga) en dirección paralela a su eje longitudinal, debido a un momento flector. Esta tensión es proporcional a la distancia a la línea neutra (donde la tensión es cero). En el centro de la viga (línea neutra), la tensión normal es cero. En flexión pura, el momento flector (M_f) es constante a lo largo de la sección.

Tensión Cortante en Flexión

Si la flexión no es pura (es decir, existe una fuerza cortante V además del momento flector), las tensiones normales no son suficientes para equilibrar el sistema de fuerzas interiores. Aparecen tensiones tangenciales (τ) que generan equilibrio. Se supone que estas tensiones tangenciales son paralelas a la dirección de la fuerza cortante (V). La fórmula para la tensión cortante en flexión es τ_xy = (V * Q) / (I * b), donde V es la fuerza cortante, Q es el primer momento de área, I es el momento de inercia de la sección y b es el ancho de la sección en el punto donde se calcula τ.

Teoremas Fundamentales y Conceptos Adicionales

Teoremas de Pappus-Guldinus

• Primer Teorema (Área de Superficie de Revolución)

  El área de una superficie de revolución (A_sr) generada por la rotación de una curva plana alrededor de un eje externo es igual a la longitud de la curva (L_c) multiplicada por la distancia recorrida por su centroide (2πY_c): A_sr = L_c * 2πY_c.

• Segundo Teorema (Volumen de Sólido de Revolución)

  El volumen de un sólido de revolución (V_sr) generado por la rotación de un área plana alrededor de un eje externo es igual al área de la figura (A) multiplicada por la distancia recorrida por su centroide (2πY_c): V_sr = A * 2πY_c.

Teorema de Steiner (Teorema de los Ejes Paralelos)

Permite calcular el momento de inercia (I') de un cuerpo o área respecto a un eje paralelo a un eje que pasa por su centroide. La fórmula es I' = I_c + m * d² (para masa) o I' = I_c + A * d² (para área), donde I_c es el momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide, m es la masa (o A el área) y d es la distancia perpendicular entre los dos ejes paralelos.

Radio de Giro

El radio de giro (k) de una masa o área es la distancia a la que se debería concentrar toda la masa o área para que su momento de inercia sea equivalente al momento de inercia del sistema real respecto al mismo eje. Se calcula como k = √(I/m) para masa o k = √(I/A) para área.

Producto de Inercia

El producto de inercia (I_xy) es una medida de la distribución de la masa o área con respecto a dos ejes ortogonales. Se calcula como la integral del producto de las coordenadas de cada elemento de masa o área: I_xy = ∫ xy dm (para masa) o I_xy = ∫ xy dA (para área). Es simétrico, es decir, I_xy = I_yx.

Ejes Principales de Inercia

• Ejes Centrales

  Son los ejes que pasan por el centro de gravedad (CG) o centroide del sólido o área.

• Ejes Principales de Inercia

  Son los ejes que pasan por el centroide (o centro de masa) y para los cuales los productos de inercia son nulos. Estos ejes representan las direcciones de máxima y mínima inercia rotacional.