Fundamentos de Mecánica de Rocas: Coeficiente K, GSI y Criterio de Falla Hoek-Brown

Fundamentos de Geomecánica y Criterios de Falla en Macizos Rocosos

1. Coeficiente "K" en Mecánica de Suelos y Rocas

¿Qué representa el coeficiente “K”? Valores típicos y condiciones en Mecánica de Rocas.

El coeficiente “K” puede representar dos conceptos fundamentales en geomecánica:

1. Módulo de Compresibilidad (K):

   Mide la resistencia de un material a la compresión uniforme. Indica el aumento de presión requerido para causar la disminución unitaria del volumen dado. En mecánica de rocas, las condiciones clave que se deben tener en cuenta para el cálculo del módulo de compresibilidad (por ejemplo, mediante la Ecuación de Gassmann) son:

   • Presencia de agua en la roca.
   • Composición mineral de la roca.
   • Porosidad de la roca.
   • Compresibilidad del fluido.

   El rango de valores típico está dado por: 33.000 – 730.000 kg/cm².

2. Coeficiente de Empuje (K₀):

   También se puede entender como la relación entre los esfuerzos efectivos horizontales y verticales, llamado coeficiente de empuje en reposo ($K_0$).

   Este valor en mecánica de rocas es típicamente superior a 1, dada la sismicidad por el movimiento de placas y la alta profundidad en donde se encuentran las rocas, lo que genera altos esfuerzos horizontales.

2. Criterio de Falla Mohr-Coulomb (M-C) con Fricción Nula

Determinación del Esfuerzo Principal Mayor ($\sigma_1$)

Asuma que existe un macizo rocoso – desconocido hasta ahora – que no tiene resistencia a la fricción ($\phi$) si es que se asume un criterio de falla M-C. Indique para qué esfuerzo principal mayor la masa de roca fallaría, considerando que esta masa se encuentra a una tensión de esfuerzo principal menor de $b$ [tonf/m²]. Asuma que las trayectorias de esfuerzos siguen las ecuaciones del Círculo de Mohr.

Respuesta:

Considerando que el macizo rocoso es desconocido y no posee fricción ($\phi=0$), se tiene una condición semejante a la no drenada. Del gráfico M-C se observa que el Radio del Círculo de Mohr es igual a la cohesión ($c$) del macizo rocoso:

$$\text{Radio} = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2} = c$$

Despejando $\sigma_1$ (denotado como $x$) y sustituyendo $\sigma_3 = b$:

$$\frac{x - b}{2} = c$$

$$x = 2c + b$$

Donde $x$ es el valor de la tensión de esfuerzo principal máximo ($\sigma_1$) para el cual la masa de roca fallaría.

3. Índice de Resistencia Geológica (GSI)

Objetivo y Parámetros Definitorios del GSI

Indique el objetivo del parámetro GSI y cuáles son los dos principales parámetros que definen su valor. ¿Es único este valor?

Respuesta:

El objetivo de este parámetro es escalar la resistencia y las propiedades de la roca intacta al macizo rocoso de acuerdo con el criterio de Hoek-Brown.

Los dos parámetros principales que definen el valor del GSI son:

1. Estructura del Macizo Rocoso: Definida en términos de su integridad, blocosidad y grado de trabazón del macizo rocoso.
2. Naturaleza de la Superficie de las Discontinuidades: Incluye la rugosidad, alteración y relleno de las juntas.

¿Es único este valor? No, este valor no es único. Se trabaja en un rango de valores que reflejan la variabilidad geológica.

4. Influencia de la Napa Freática en Tensiones Efectivas

Condición Desfavorable en Términos de Tensiones Efectivas ($\sigma'$)

Indique en cuál de los siguientes esquemas de altura de napa sobre un macizo es más desfavorable la condición en una misma masa de roca a una profundidad $c$ en términos de tensiones efectivas, con $a>b$. Demuestre con ecuaciones su resultado.

Demostración:

Se sabe que la tensión efectiva es $\sigma' = \sigma - u$. Por otro lado, el esfuerzo de corte ($\tau$), que es el principal esfuerzo en el cual fallan las rocas y suelos, está dado por la ecuación de Mohr-Coulomb en términos efectivos:

$$\tau = c' + \sigma' \tan(\phi')$$

Luego, debemos ver cómo se ve afectado el esfuerzo efectivo para los dos casos (Caso B – altura $b$ de agua, y Caso A – altura $a$ de agua sobre el nivel de la roca). Para ambos casos A y B, a una profundidad $c$ bajo la superficie de la roca (donde $Z$ es $a$ o $b$ dependiendo del caso):

• Tensión Total ($\sigma$): $\sigma = \gamma_{sat} \cdot c + \gamma_w \cdot Z$
• Presión de Poros ($u$): $u = \gamma_w \cdot (Z + c)$

Calculando la Tensión Efectiva ($\sigma'$):

$$\sigma' = \sigma - u = (\gamma_{sat} \cdot c + \gamma_w \cdot Z) - (\gamma_w \cdot Z + \gamma_w \cdot c)$$

$$\sigma' = c \cdot (\gamma_{sat} - \gamma_w)$$

$$\sigma' = c \cdot \gamma'$$

Donde $\gamma'$ es el peso unitario sumergido. Dado que la tensión efectiva solo depende de la profundidad $c$ y del peso unitario sumergido de la roca, y no de la altura de la columna de agua sobre la roca ($Z=a$ o $Z=b$), se concluye que:

Conclusión: Para ambos casos se tiene el mismo esfuerzo efectivo, y por ende, el mismo esfuerzo de corte. Ambos son igual de desfavorables en términos de tensiones efectivas.

5. Criterio de Falla Hoek-Brown Generalizado

Descripción, Influencia del Factor D y Variación de Parámetros

Explique en qué consiste el criterio de falla Hoek-Brown Generalizado y en qué influye el Factor D. Adicionalmente, grafique el criterio antes señalado (Hoek-Brown Generalizado) de manera esquemática, pero para dos curvas (dos casos), una con $D=0$ y otra con $D=1$. En estos dos gráficos (casos), ¿cómo cambia el valor de $a$, $m_i$ y $m_b$?

Descripción del Criterio:

El criterio de rotura de Hoek-Brown generalizado es un modelo empírico no lineal que sirve para la obtención de los esfuerzos principales al que está sometida la roca. Permite estimar la resistencia de macizos rocosos fracturados a partir de la resistencia de la roca intacta y la calidad del macizo (GSI).

Influencia del Factor D (Factor de Perturbación)

El parámetro $D$ corresponde al grado de alteración o daño del macizo rocoso. Depende del grado de perturbación al que haya sido sometido el macizo rocoso debido a los daños originados por voladura, excavación o relajación tensional.

• $D=0$: Macizos rocosos no perturbados.
• $D=1$: Macizos rocosos muy perturbados.

Variación de Parámetros ($a$, $m_i$ y $m_b$)

La expresión del criterio es:

$$\sigma_1' = \sigma_3' + \sigma_{ci} \left( m_b \frac{\sigma_3'}{\sigma_{ci}} + s \right)^a$$

Los parámetros $m_i$ (constante de la roca intacta) y $a$ (exponente que depende del GSI) no varían su valor con el parámetro $D$.

El parámetro $m_b$ (constante reducida del macizo rocoso) es el que depende de $D$. La formulación estándar indica que a mayor $D$ (mayor perturbación), se tiene un menor valor de $m_b$, lo que resulta en una menor resistencia del macizo rocoso.

Gráfico Esquemático (D=0 vs. D=1)

Al graficar el criterio ($\sigma_1'$ vs. $\sigma_3'$), la curva con $D=1$ (macizo muy perturbado) se encontrará por debajo de la curva con $D=0$ (macizo no perturbado), indicando que la resistencia del macizo rocoso disminuye significativamente a medida que aumenta el factor de perturbación $D$.