Fundamentos de Mecánica y Dinámica: Ecuaciones, Hilos y Percusiones

1. Coordenadas Intrínsecas

Las ecuaciones de movimiento en coordenadas intrínsecas se expresan como:

T = T * Et

F = Ft * Et + Fn * En + Fb * Eb

d(T * Et) + (Ft * Et + Fn * En + Fb * Eb) * ds = 0

dT * Et + T * dEt + (Ft * Et + Fn * En + Fb * Eb) * ds = 0

Nota: d(Et/ds) = En/ρ

dT * Et + (T/ρ) * (En/ds) + (Ft * Et + Fn * En + Fb * Eb) * ds = 0

De lo anterior, se derivan las siguientes relaciones:

• -dT + Ft * ds = 0
• -(T/ρ) * ds + Fn * ds = 0 → T/ρ + Fn = 0
• -Fb = 0

La fuerza F se encuentra en el plano osculador de la curva.

2. Coordenadas Cartesianas

Considerando T = T * Et en coordenadas cartesianas, tenemos:

T = T(dx/ds)i + T(dy/ds)j + T(dz/ds)k

Et = dT/ds = (dx/ds)i + (dy/ds)j + (dz/ds)k

F = (Fx)i + (Fy)j + (Fz)k

La ecuación de movimiento se expresa como:

d(T(dx/ds)i + T(dy/ds)j + T(dz/ds)k) + ((Fx)i + (Fy)j + (Fz)k)ds = 0

Descomponiendo en componentes, obtenemos:

1. d(T(dx/ds)) + (Fx)ds = 0
2. d(T(dy/ds)) + (Fy)ds = 0
3. d(T(dz/ds)) + (Fz)ds = 0

Además, la relación diferencial de longitud de arco es:

4. dx² + dy² + dz² = ds²

3. Hilo Sometido a Carga por Unidad de Longitud (Catenaria)

En un plano vertical, la coordenada z es nula. Consideramos las fuerzas Fy = -q y Fx = 0.

1. De la primera ecuación de movimiento: d(T(dx/ds)) = 0 → T(dx/ds) = cte = To (proyección horizontal de T).
2. De la segunda ecuación de movimiento: d(T(dy/ds)) + q*ds = 0.

Sustituyendo y operando:

d(T*(dy/dx)*(dx/ds)) - q*ds = d(To*y') - q*ds = To*dy' - q*ds = 0

La relación para el diferencial de arco es: ds = √(dx² + dy²) = dx*√(1+y'²)

Sustituyendo ds en la ecuación de movimiento:

To*dy' = q*dx*√(1+y'²)

To*(dy'/√(1+y'²)) = q*dx

Integrando ambos lados:

To*∫(dy'/√(1+y'²)) = q*∫dx

To*arsinh(y') = qx + C

Si en x=0, y'=0, entonces C=0.

1. Por lo tanto: To*arsinh(y') = qx

Despejando y': y' = sinh(qx/To)

Llamando α = To/q:

2. y' = sinh(x/α) → (dy/dx) = sinh(x/α) → dy = sinh(x/α)*dx

Integrando nuevamente:

y = α*cosh(x/α) + B

Si en x=0, y=0, entonces B=0.

3. La ecuación de la catenaria es: y = α*cosh(x/α)

4. Hilo Sometido a Carga por Unidad de Abscisa (Parábola)

Consideramos una carga q = (-q)j (por unidad de abscisa) = (-q*dx)j.

Es una curva plana. Las ecuaciones de movimiento son:

• d(T*(dx/ds)) = 0 → To
• d(T*(dy/ds)) - q*ds = 0

De la segunda ecuación: To*dy' - q*dx = 0

Integrando:

To*y' - qx = C1

Si en x=0, y'=0, entonces C1=0.

Por lo tanto: To*y' = qx → y' = (q/To)*x

dy = (q/To)*x*dx

Integrando nuevamente:

y = (1/2)*(q/To)*x² + C2

Si en x=0, y=0, entonces C2=0.

El resultado es la ecuación de una parábola:

y = (1/2)*(q/To)*x²

5. Deducción de las Ecuaciones de Lagrange

Partimos del Principio de d'Alembert:

Fac - m*a = 0

Σ(Faci) - Σ(m*ai) = 0

Suponiendo sistemas con enlaces holónomos y perfectos, formados por sólidos rígidos. Multiplicando por un desplazamiento virtual dri y sumando, obtenemos el Teorema del Trabajo Virtual:

Σ(Faci)*dri - Σ(m*ai)*dri = 0

5.1. Transformación del Término de Fuerzas Activas

Por una parte, el término de las fuerzas activas se descompone en fuerzas aplicadas, de enlace e internas:

Σ(Faci)*dri = Σ(Fapi)*dri + Σ(Fenli)*dri + Σ(Finti)*dri

Para sistemas con enlaces perfectos, Σ(Fenli)*dri = 0 y para sólidos rígidos, Σ(Finti)*dri = 0. Así, el trabajo virtual de las fuerzas activas se reduce a las fuerzas aplicadas.

Expresando dri en función de las coordenadas generalizadas qj (dri = Σ(dri/dqj)*dqj):

Σ(Faci)*dri = Σ(Σ(Fapi)*(dri/dqj))*dqj

Llamamos Fuerzas Generalizadas Qj = Σ(Fapi*(dri/dqj)). Entonces:

Σ((Faci)*dri) = Σ(Qj*dqj)

5.2. Transformación del Término de Inercia

Por otra parte, el término de inercia se transforma utilizando la energía cinética T:

Σ(mi*ai*(dri/dqj)) = Σ(mi*(d/dt)*(vi*(dvi/dqj))) - Σ(mi*vi*(d/dt)*(dvi/dqj))

Esto se simplifica a:

Σ(mi*ai*(dri/dqj)) = (d/dt)*(dT/dqj) - (dT/dqj)

Por lo tanto, el término de inercia en el Teorema del Trabajo Virtual es:

Σ(mi*ai*dri) = Σ((d/dt)*(dT/dqj) - (dT/dqj))*dqj

5.3. Ecuaciones de Lagrange

Sumando ambos términos (fuerzas activas e inercia) en el Teorema del Trabajo Virtual, obtenemos:

Σ(Qj*dqj) - Σ((d/dt)*(dT/dqj) - (dT/dqj))*dqj = 0

Sacando factor común dqj y dado que los desplazamientos virtuales dqj son independientes y arbitrarios, los coeficientes deben ser cero. Así, obtenemos las Ecuaciones de Lagrange:

Qj - [(d/dt)*(dT/dqj) - (dT/dqj)] = 0 para todo j=1,...,n

5.4. Ecuaciones de Lagrange para Fuerzas Conservativas

Si además las fuerzas son conservativas, Fapi = -grad(Vi), con lo que Fapi*(dri/dqj) = -(dVi/dqj). Por lo tanto, Qj = -(dVi/dqj).

Sustituyendo Qj en la ecuación de Lagrange:

-(dV/dqj) - (d/dt)*(dT/dqj) + (dT/dqj) = 0

Como el potencial V no depende de las velocidades generalizadas (q'j), podemos escribir:

(d/dt)*(d(T-V)/dqj) - d(T-V)/dqj = 0

Definiendo la Función de Lagrange L = T-V, la ecuación se convierte en:

d/dt*(dL/dq'j) - (dL/dqj) = 0 con j=1,...,n

Esta es la forma de las Ecuaciones de Lagrange cuando todas las fuerzas derivan de un potencial.

6. Teoremas de Dinámica de Percusiones

6.1. Teorema del Momento Lineal de Percusiones

Partiendo de la segunda ley de Newton: Σ(Faci) + Σ(faci) = m*ag.

Integrando respecto al tiempo (t) en un intervalo de percusión (Δt), el término de las fuerzas activas (Σ(Faci)) es despreciable frente a las fuerzas impulsivas (Σ(faci)).

Σ∫(faci)dt = ∫(m*ag)dt de 0 a Δt

Esto resulta en:

Σ(Paci) = m*vg_después - m*vg_antes

6.2. Teorema del Momento Angular de Percusiones

La ecuación del momento angular es: dHo/dt = No + no + p × vo.

Integrando de 0 a Δt:

∫dHo = ∫No*dt + ∫no*dt + ∫(p × vo)*dt

Los términos ∫No*dt y ∫(p × vo)*dt son nulos durante la percusión.

Por lo tanto:

Ho_después - Ho_antes = no

6.3. Teorema de la Energía en Percusiones

Debido a la percusión, el cambio en la energía cinética (ΔT) es:

ΔT = Td - Ta = Σ((1/2)*mi*(vi²_después - vi²_antes))

También se puede expresar como:

ΔT = Σ(Paci*(v_después + v_antes)/2)

7. Teorema de Carnot

La relación general para el cambio de energía es:

Td - Ta + Tw = Σ(Papi*vi) + Σ(Penli*vi) + Σ(Pinti*vi)

Definimos un enlace perfecto cuando dW_enl = 0.

7.1. Tipos de Enlaces en Percusiones

• Enlace Persistente: Es aquel que aparece en la percusión y se mantiene después, o el que ya estaba antes y también después.
• Enlace No Persistente: Es aquel que desaparece durante la percusión.

La creación súbita de un enlace es percusional, produce una percusión y restringe el movimiento bruscamente. La aparición de un enlace implica percusión, mientras que la desaparición de un enlace no implica percusión.

En los sólidos rígidos, tenemos que Σ(Pinti*vi) = 0, por lo que la ecuación se simplifica a:

Td - Ta + Tw = Σ(Papi*vi) + Σ(Penli*vi)

7.2. Enunciado del Teorema de Carnot

Cuando en un sólido rígido no hay percusiones aplicadas (1) y aparece un enlace persistente perfecto (2), se tiene que:

-Ta = Td + Tw

Condiciones:

1. Σ(Papi*vi) = 0 (no hay percusiones aplicadas)
2. Σ(Penli*vi) = 0 (aparece un enlace persistente perfecto)