Fundamentos de Mecánica Cuántica y Física del Estado Sólido: Conceptos Clave

Propiedades de los Operadores Hermíticos

Los operadores hermíticos son fundamentales en mecánica cuántica. Sus propiedades incluyen:

• Sus eigenfunciones son reales.
• Las eigenfunciones correspondientes a diferentes eigenvalores son ortogonales.
• La degeneración de un eigenvalor finito es finita.
• El conjunto de eigenfunciones de un operador hermítico ligado es completo.
• Los elementos de la diagonal de la matriz asociada al operador son reales.
• Para dos funciones arbitrarias |f⟩ y |g⟩, se cumple que para un operador hermítico M̂, ⟨f|M̂|g⟩ = (⟨g|M̂|f⟩)*.

Estructura de Bandas en Materiales Cristalinos

La solución de los posibles estados cuánticos de un electrón en un material cristalino conduce a una estructura de bandas. Esta se representa como la energía del electrón en función del vector de onda k, en principio en las tres dimensiones del espacio, aunque en la práctica se hace sobre las proyecciones correspondientes. Básicamente, hay una línea o banda en tales diagramas para cada estado atómico o molecular constituyente original, y dentro de cada banda, un estado para cada átomo o molécula que constituya el trozo de material considerado. La banda de energías más elevadas, para un semiconductor, rellena de electrones se denomina banda de valencia. La banda no rellena con energías más bajas se denomina banda de conducción.

Aproximación del Electrón Único en Cristales

El punto de partida en la teoría de bandas para sólidos cristalinos es suponer que un único electrón se mueve en un potencial periódico efectivo creado por todos los demás núcleos y electrones de la red cristalina.

El Operador L² (Momento Angular Cuadrado)

El operador L² conmuta con cada una de las componentes del operador momento angular: L_x, L_y y L_z. Los eigenvalores de L² son ℏ²l(l+1), donde l = 0, 1, 2... y las eigenfunciones son armónicos esféricos. Para cada valor de l, el parámetro m puede tomar los valores -l ≤ m ≤ l.

Energía del Punto Cero

En problemas mecano-cuánticos, la solución a la ecuación de onda que proporciona un valor mínimo de la energía es, a menudo, un valor de energía que está por encima del fondo del potencial que está actuando. Dicha energía se denomina energía del punto cero y no se encuentra analogía con ningún concepto clásico.

Espacio de Hilbert

El Espacio de Hilbert es un espacio vectorial con un producto interno, en el que existen y evolucionan nuestros vectores de estado de sistemas cuánticos. Las principales diferencias con respecto a un espacio geométrico ordinario son:

• Las componentes pueden ser números complejos (incluido el producto interno).
• El espacio puede tener más de tres dimensiones (incluso infinitas).

Ortogonalidad, Completitud y Ortonormalidad

La ortogonalidad es una propiedad matemática de dos funciones g(z) y h(z) por la cual su integral de solapamiento es nula: ∫₀^L_z g(z)*h(z)dz = 0. También puede decirse que para cualquier pareja de funciones de un conjunto de funciones de base, han de ser ortogonales entre sí.

La completitud es la condición por la cual un conjunto de funciones de base puede ser usado para representar cualquier función en el mismo espacio.

La ortonormalidad es la condición de que todas las funciones de una base sean ortogonales entre sí y estén normalizadas: ∫₀^L_z φ_n(z)*φ_m(z) dz = δ_nm, donde δ_nm = 0 si n ≠ m y δ_nm = 1 si n = m.

Estados de Spin Electrónico

Un estado general del spin electrónico puede ser representado mediante una combinación lineal de dos estados de base: uno correspondiente al estado "spin arriba" escrito como |↑⟩ = |1/2, 1/2⟩ o como un vector columna [10], y otro correspondiente al estado "spin abajo" |↓⟩ = |1/2, -1/2⟩ o como un vector columna [01]. "Arriba" y "abajo" se refieren al eje z, aunque cualquier otro eje puede ser tomado como referencia. Un estado general puede ser escrito como |s⟩ = a1/2 |1/2, 1/2⟩ + a-1/2 |1/2, -1/2⟩ = a1/2 |↑⟩ + a-1/2 |↓⟩ = [a1/2a-1/2].