Fundamentos de Matrices Inversas y Regulares: Propiedades y Caracterización

Matrices Inversas y Regulares

Definición 9: Matriz Inversa

Dadas dos matrices cuadradas, A, B ∈ M_n(K), se dice que B es inversa de A si AB = BA = I_n.

No toda matriz cuadrada tiene inversa. Por ejemplo, la siguiente matriz:

Ejemplo 10

A = (1 0 / 0 0)

no puede tener inversa, ya que al multiplicar por cualquier matriz cuadrada 2x2, se tiene:

(1 0 / 0 0)(a b / c d) = (a b / 0 0)

que nunca puede dar la matriz identidad.

Este concepto se puede generalizar a cualquier matriz.

Lema 1: Propiedades de Matrices con Filas/Columnas de Ceros

Si una matriz A tiene una fila de ceros, cualquier producto AB tiene una fila de ceros. También, si A tiene una columna de ceros, cualquier producto CA tiene una columna de ceros. Por tanto, una matriz invertible nunca tiene ni una fila ni una columna de ceros.

Lema 2: Unicidad de la Matriz Inversa

Si existe la matriz inversa de una matriz A ∈ M_n(K), esta es única.

Demostración

Si existieran dos matrices B, B' ∈ M_n(K) tales que AB = BA = I_n = AB' = B'A, entonces son ciertas las siguientes igualdades:

B' = I_nB' = (BA)B' = B(AB') = BI_n = B

lo que demuestra la unicidad.

Como la inversa, si existe, es única, se le puede dar nombre propio.

Definición 10: Matriz Invertible o Regular

A la inversa de A, si existe, se le llama A^-1. Una matriz cuadrada, A ∈ M_n(K), se dice que es invertible o regular si existe A^-1.

Lema 3: Propiedades de las Matrices Invertibles

Si las matrices cuadradas A₁, A₂, ..., A_r ∈ M_n(K) son invertibles. Entonces:

• La matriz producto, A₁ ··· A_r, es invertible y su inversa es (A₁ ··· A_r)^-1 = A_r^-1 ··· A₁^-1.
• La matriz traspuesta de una invertible es invertible. De hecho, (A^t)^-1 = (A^-1)^t.

Definición 11: Matrices Elementales

Para un orden n fijo, las siguientes matrices cuadradas se denominan:

• Tipo I: La matriz que se obtiene de la matriz identidad, intercambiando las filas i, j entre sí, se denomina E_ij.
• Tipo II: La matriz que se obtiene de la matriz identidad, multiplicando la fila i por un escalar k, se denomina E_i(k).
• Tipo III: La matriz que se obtiene de la matriz identidad, sumándole a la fila i la fila j multiplicada por k, se denomina E_ij(k).

Con esta definición, los ejemplos son:

• E23 = (1 0 0 / 0 0 1 / 0 1 0)
• E2(3) = (1 0 0 / 0 3 0 / 0 0 1)
• E23(2) = (1 0 0 / 0 1 2 / 0 0 1)

Además, siempre se verifica que la inversa de una matriz de tipo I, E_ij, es ella misma, E_ij^-1 = E_ij. La inversa de una matriz de tipo II, E_i(k), es la matriz E_i(k)^-1 = E_i(1/k). Y la inversa de una matriz de tipo III, E_ij(k), es la matriz E_ij(k)^-1 = E_ij(-k).

Teorema 2: Caracterización de las Matrices Invertibles

Una matriz cuadrada, A ∈ M_n(K), es invertible si y solo si es producto de matrices elementales.

Demostración

En efecto, como todas las matrices elementales son invertibles, cualquier producto finito de ellas será de nuevo invertible. Por tanto, lo que queda por demostrar es que si A es invertible existen matrices elementales A₁, ..., A_r ∈ M_n(K) tales que A = A₁ ··· A_r. La demostración de esa existencia es constructiva. Consiste en aplicar un algoritmo a la matriz original en el que cada paso consistirá en multiplicar a izquierda por una matriz elemental adecuada, B_i. De forma que, en un número finito de pasos, el producto total sea la matriz identidad:

B_r ··· B₁A = I

Ahora, multiplicando sucesivamente por las inversas de las matrices elementales, obtenemos:

B_r-1 ··· B₁A = B_r^-1 B_r ··· B₁A = B_r^-1 I = B_r^-1

B_r-2 ··· B₁A = B_r-1^-1 B_r-1 ··· B₁A = B_r-1^-1 B_r^-1

...sucesivamente hasta conseguir que A = B₁^-1 ··· B_r^-1.

Corolario 1: Inversa como Producto de Matrices Elementales

Si una matriz A es invertible, su inversa también se puede obtener como producto de matrices elementales.

Demostración

Como A = B₁^-1 ··· B_r^-1 = (B_r ··· B₁)^-1 y la inversa de una matriz es única, se tiene que A^-1 = B_r ··· B₁.

Por todo lo anterior, conociendo y aplicando el algoritmo a una matriz A invertible, lo que se obtiene es su matriz inversa. En realidad, veremos que el algoritmo siempre se puede aplicar a toda matriz, sea cuadrada o no. Sin embargo, no siempre se obtiene la matriz identidad.