Fundamentos de Matrices y Álgebra Lineal: Conceptos, Tipos y Operaciones Esenciales

Resumen de Conceptos Fundamentales de Matrices

Definición y Estructura de Matrices

Las matrices son distribuciones rectangulares de números o funciones. Se denotan con letras mayúsculas y se componen de:

• Filas: Disposición horizontal.
• Columnas: Disposición vertical.

Tipos de Matrices según su Dimensión

Matriz Cuadrada

Tiene igual número de filas y de columnas (M = N).

Matriz Rectangular

Posee diferente número de filas y de columnas. Se clasifica en:

• Vertical: Si M > N (más filas que columnas).
• Horizontal: Si M < N (más columnas que filas).

Vector Fila o Vector Columna

Es una matriz que tiene una sola fila o una sola columna, respectivamente.

Elementos y Notación Matricial

El elemento es cada uno de los números o funciones que componen la matriz. Se denotan con una letra minúscula con un par de subíndices (ej. $a_{ij}$), donde el primer subíndice ($i$) indica la fila y el segundo ($j$) indica la columna.

Relaciones entre Matrices

Semejanza de Matrices

Dos matrices son semejantes si tienen el mismo número de filas y columnas (es decir, el mismo orden).

Igualdad de Matrices

Dos matrices son iguales si son semejantes y, además, sus elementos correspondientes coinciden.

Relaciones Lineales entre Filas o Columnas

Las "líneas" (filas o columnas) de una matriz pueden relacionarse de la siguiente manera:

• Producto Escalar: Una línea es producto de otra si sus elementos son los de la otra multiplicados por un mismo número.
• Suma de Líneas: Una línea es suma de otras líneas si sus elementos se obtienen sumando los elementos correspondientes de esas líneas.
• Combinación Lineal: Una línea es combinación lineal de otras líneas si sus elementos se obtienen sumando los elementos correspondientes de esas líneas, multiplicadas previamente cada una por un número.

Definiciones Adicionales

Submatriz

Es la matriz que se obtiene suprimiendo un cierto número de filas y/o un cierto número de columnas de una matriz original.

Matriz Traspuesta ($A^T$)

Es la matriz que tiene como filas las columnas de la matriz original (y viceversa).

Particularidades de las Matrices Cuadradas

Componentes Clave

Elementos de la Diagonal Principal

Son los elementos que tienen los dos subíndices iguales ($a_{ii}$).

Diagonal Principal

Es la línea formada por los elementos principales.

Diagonal Secundaria

Es la otra diagonal de la matriz cuadrada.

Elementos Conjugados

Son aquellos elementos que tienen los mismos subíndices pero en orden contrario (ej. $a_{ij}$ y $a_{ji}$).

Líneas Conjugadas

Son las líneas (filas o columnas) que están formadas por elementos conjugados.

Tipos Especiales de Matrices Cuadradas

Matriz Diagonal

Aquella en la que los únicos elementos diferentes de cero son los de la diagonal principal.

Matriz Escalar

Es una matriz diagonal cuyos elementos principales son iguales entre sí.

Matriz Unidad (o Identidad)

Es la matriz escalar cuyos elementos principales son todos iguales a 1 ($I$).

Matriz Nula

Es la matriz que tiene todos sus elementos iguales a cero.

Operaciones con Matrices

Operaciones Básicas

Suma de Matrices

Dos o más matrices pueden sumarse solo si tienen el mismo orden (mismo número de filas y columnas). El resultado se obtiene sumando los elementos correspondientes de las matrices sumandos.

Multiplicación de un Escalar por una Matriz

Es la matriz que se obtiene multiplicando cada elemento de la matriz por el escalar dado.

Diferencia de Matrices (Resta)

Se define multiplicando la segunda matriz por el escalar $-1$ y sumando algebraicamente el resultado a la primera matriz.

Multiplicación de Matrices

(Requiere que el número de columnas de la primera matriz sea igual al número de filas de la segunda matriz).

Aplicaciones: Resolución de Sistemas Lineales

Método de Eliminación de Gauss

El Método de Eliminación de Gauss se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones lineales a través de operaciones elementales hechas con matrices. Se basa en transformar la matriz original del sistema (matriz ampliada) hasta obtener una matriz escalonada o una matriz con la diagonal principal unitaria y ceros debajo de ella, exceptuando la última columna, la cual (Texto truncado)