Fundamentos Matemáticos: Postulados, Teoremas y Propiedades de Triángulos
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Postulados Algebraicos Fundamentales
Postulado 7: Postulado de la Multiplicación
Si objetos iguales se multiplican por objetos iguales, sus productos son iguales. Es decir, si a = b y c = d, entonces ac = bd.
Postulado 8: Postulado de la División
Si objetos iguales se dividen entre objetos iguales, los cocientes son iguales. Es decir, si a = b y c = d, entonces a/c = b/d, donde c ≠ 0 y d ≠ 0.
Postulado 9: Postulado de la Potencia
Cantidades iguales elevadas a potencias iguales son iguales. Es decir, si a = b, entonces an = bn.
Postulado 10: Postulado de la Raíz
Raíces n-ésimas iguales de cantidades iguales son iguales. Es decir, si a = b, entonces √na = √nb.
Postulados Geométricos Clave
Postulado 11
Dos líneas rectas se intersectan en un solo punto.
Postulado 12
Por dos puntos cualesquiera pasa una recta y solamente una. Por lo tanto, si dos rectas tienen dos puntos en común, coinciden en toda su extensión.
Postulado 13
La longitud de un segmento es la distancia más corta entre dos puntos. Dicho de otra manera, la distancia más corta entre dos puntos es la línea recta.
Postulado 14
Uno y solo un círculo puede dibujarse dados un punto como centro y un segmento de línea como radio.
Postulado 15
Cualquier figura geométrica puede cambiarse de lugar sin modificar su forma o su tamaño.
Postulado 16
Un segmento tiene uno y solo un punto medio.
Postulado 17
Un ángulo tiene una y solo una bisectriz.
Postulado 18
A través de cualquier punto de una línea puede trazarse una y solo una perpendicular a ella.
Postulado 19
A través de cualquier punto fuera de una línea puede trazarse una y solo una perpendicular a esa línea.
Teorema de Pitágoras
En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Su fórmula es: c2 = a2 + b2.
Triángulos Congruentes
Los triángulos congruentes son aquellos que tienen exactamente el mismo tamaño y la misma forma.
Criterios de Congruencia de Triángulos:
1) Criterio LLL (Lado, Lado, Lado)
Si los tres lados de un triángulo son congruentes con los tres lados correspondientes de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.
2) Criterio LAL (Lado, Ángulo, Lado)
Si dos lados y el ángulo comprendido de un triángulo son congruentes con los correspondientes de otro, entonces los triángulos son congruentes.
3) Criterio ALA (Ángulo, Lado, Ángulo)
Si un lado y los dos ángulos adyacentes a él de un triángulo son congruentes con los correspondientes de otro, entonces los triángulos son congruentes.
Triángulos Semejantes
Los triángulos semejantes son aquellos que tienen la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño. Sus ángulos correspondientes son congruentes y sus lados correspondientes son proporcionales.
Principios de Semejanza de Triángulos:
Principio 1: Criterio AAA (Ángulo, Ángulo, Ángulo)
Dos triángulos son semejantes si los ángulos correspondientes de un triángulo son congruentes con los ángulos correspondientes del otro.
Principio 2: Criterio AA (Ángulo, Ángulo)
Dos triángulos son semejantes si dos ángulos de un triángulo son congruentes con dos ángulos correspondientes del otro.
Principio 3: Criterio LAL (Lado, Ángulo, Lado)
Dos triángulos son semejantes si un ángulo de uno es congruente con un ángulo del otro y los lados que lo forman son proporcionales.
Principio 4: Criterio LLL (Lado, Lado, Lado)
Dos triángulos son semejantes si sus lados correspondientes son proporcionales.
Principio 5
Una línea paralela a uno de los lados de un triángulo que interseca los otros dos lados, forma un triángulo semejante al original.
Principio 6
La altura relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo lo divide en dos triángulos que son semejantes al triángulo original y semejantes entre sí.
Principio 7
Dos triángulos son semejantes si sus lados correspondientes son paralelos entre sí.
Principio 8
Dos triángulos son semejantes si sus lados correspondientes son perpendiculares entre sí.