Fundamentos Matemáticos Esenciales: Relaciones, Álgebra Lineal y Teoremas Clave

Relación Binaria de Orden y de Equivalencia sobre un Conjunto A

Dado un conjunto $A$, una relación binaria en $A$ es un subconjunto $R$ del producto cartesiano $A \times A$, es decir, $R \subseteq A \times A$.

Relación de Orden

La relación $R$ es de orden si cumple las siguientes tres propiedades de las relaciones binarias:

• Reflexiva

  Se cumple si para todo elemento $a \in A$, se tiene $aRa$. (Ejemplo: $1R1, 2R2, \dots$)

• Antisimétrica

  Si $aRb$ y $bRa$, entonces $a=b$. (El ejemplo original es confuso, pero la propiedad se cumple si, por ejemplo, existe $1R2$ y no existe $2R1$, a menos que $1=2$).

• Transitiva

  Si $aRb$ y $bRc$, entonces $aRc$. (Ejemplo: si existe $1R2$ y $2R3$, por tanto, existe $1R3$).

Relación de Equivalencia

Así mismo, una relación binaria se dice que es de equivalencia si es:

• Reflexiva
• Simétrica
• Transitiva

Aplicaciones y Correspondencia

Correspondencia

Una correspondencia entre dos conjuntos $A$ y $B$ es un subconjunto del producto cartesiano $A \times B$.

Álgebra de Boole y Funciones Booleanas

Función Booleana

Si consideramos el álgebra de Boole $B=\{0,1\}$ con las operaciones "+" (OR) y "\times" (AND), donde:

Las operaciones fundamentales son:

• $0+1=1$
• $0+0=0$
• $1+0=1$
• $1+1=1$ (Corrección matemática: en Álgebra de Boole, $1+1=1$)
• $0 \times 0=0$
• $0 \times 1=0$
• $1 \times 0=0$
• $1 \times 1=1$

Entonces, una función booleana es una aplicación $f: B^n \to B$, donde $B^n$ es el álgebra de Boole producto cartesiano de $B$ consigo mismo $n$ veces.

Estructuras Algebraicas Fundamentales

Espacio Vectorial sobre un Cuerpo K

Si $K$ es un cuerpo, un $K$-espacio vectorial es un conjunto $V$ dotado de:

• Una ley de composición interna (Suma): $+: V \times V \to V$
• Una ley de composición externa (Producto por escalar): $\cdot: K \times V \to V$

Tal que $(V, +)$ es un grupo abeliano y cumple los siguientes axiomas:

• Distributiva 1: $\alpha \cdot (v+w) = \alpha \cdot v + \alpha \cdot w$
• Distributiva 2: $(\alpha + \beta) \cdot v = \alpha \cdot v + \beta \cdot v$
• Asociatividad (Pseudoasociativa): $(\alpha \cdot \beta) \cdot v = \alpha \cdot (\beta \cdot v)$
• Elemento Unidad: Existe $1 \in K$ tal que $1 \cdot v = v$

Álgebra Lineal y Teoremas Clave

Teorema de Rouché-Frobenius

Sea $K$ un cuerpo y el sistema de ecuaciones lineales $A \cdot X = B$, donde $A \in M_{m \times n}(K)$ es la matriz de los coeficientes y $B \in M_{m \times 1}(K)$ es la matriz de los términos independientes.

El sistema tiene solución si y solo si los rangos de $A$ y de la matriz ampliada $A|B$ son iguales: $r(A) = r(A|B)$.

Clasificación de soluciones:

• Si $r(A) = r(A|B) = n$ (número de incógnitas), el sistema tiene solución única (Compatible Determinado).
• Si $r(A) = r(A|B) < n$, el sistema tiene infinitas soluciones (Compatible Indeterminado).
• Si $r(A) \neq r(A|B)$, el sistema no tiene solución (Incompatible).

Teorema de la Prolongación de la Base

Si $V$ es un $K$-espacio vectorial de dimensión $n$ y $\beta = \{u_1, \dots, u_m\}$ es una base del subespacio vectorial $U$ de $V$, entonces existen vectores $u_{m+1}, \dots, u_n \in V$ tales que el conjunto $\{u_1, \dots, u_m, u_{m+1}, \dots, u_n\}$ es una base de $V$.

Teoría de Grafos

Teorema de Caracterización de un Grafo de Euler

Un grafo $G$ es de Euler si y solo si $G$ es conexo y todo vértice de $G$ es de grado par.

Teorema de Caracterización de un Grafo de Hamilton

Un grafo se dice que es de Hamilton si contiene un ciclo hamiltoniano (un ciclo simple que recorre todos los vértices del grafo exactamente una vez).

Aritmética y Divisibilidad

Teorema del Algoritmo de Euclides

Dados dos enteros $a$ y $b$ con $b \neq 0$, el máximo común divisor de $a$ y $b$, $\text{mcd}(a, b)$, es igual al máximo común divisor de $b$ y $r$, siendo $r$ el resto de la división entera de $a$ entre $b$. Es decir, $\text{mcd}(a, b) = \text{mcd}(b, r)$.

Diagonalización de Matrices

Definición de Diagonalización

Una matriz cuadrada $A \in M_n(\mathbb{R})$ se dice diagonalizable si y solo si es semejante a una matriz diagonal $D$. Esto significa que existe una matriz regular $P$ (tal que $|P| \neq 0$) y una matriz diagonal $D$ tal que $A = P D P^{-1}$.

Teoremas de Caracterización de Diagonalización

Sea $A \in M_n(\mathbb{R})$. Se cumplen las siguientes condiciones suficientes para la diagonalización:

• Si $A$ es simétrica ($A = A^t$), entonces $A$ es diagonalizable.
• Si todos los valores propios de $A$ son reales y distintos, entonces $A$ es diagonalizable.
• Si la dimensión del subespacio propio $W(\lambda_i)$ es igual a la multiplicidad algebraica $m(\lambda_i)$ para cada valor propio $\lambda_i$, entonces $A$ es diagonalizable.