Fundamentos de Matemáticas: Explorando Funciones, Logaritmos y Cónicas

Tipos de Funciones

f(x) = [x] (b) es una función valor absoluto

f(x) = √x (i) es una función radical

f(x) = 1/x (a) es una función racional

f(x) = x² (c) es una función cuadrática

Dominio de una Función

La función f(x) = √(x-3) tiene como dominio: Dom (f) = { x ∈ R / x ≥ 3 }

La función f(x) = (x-2)/(x-9) tiene como dominio: Dom (f) = { x ∈ R / x ≠ 9 }

Propiedades de Funciones

• La gráfica de la función logarítmica pasa por el punto (1,0).
• El recorrido de la función exponencial f(x) = a^x es el intervalo (0, ∞).
• El recorrido de la función seno es el intervalo [-1, 1].
• Una función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo.

Ejercicios de Logaritmos

El log_b(1/49) = -2, ¿cuál es el valor de b? C. 7

El log₅625 = x, ¿cuál es el verdadero valor de x? A. 4

Si f(x) = (2/3)x, cuando x = -2, la imagen tendría un valor de: B. 2.25

El log₃x = 4, ¿cuál es el valor de x? A. 81

125^1/3 = 5, log₁₂₅5 = 1/3, log₅625 = 4, 5⁴ = 625

Log₂30 = log30/log2 = 1.4771 / 0.3010 = 4.9073

Log9 + log28 - log7 = log(9 * 28) - log7 = log(252) - log7 = log(252/7) = log(36) ≈ 1.556

Cónicas

La parábola es el lugar geométrico formado por los puntos P(x, y) del plano cartesiano tales que equidistan de un punto fijo llamado foco y una recta fija llamada directriz. (V)

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante. (F)

La circunferencia define a una curva formada por un conjunto de puntos en el plano, que equidistan de un punto fijo llamado centro. (V)

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante. (F)

x² - 92y² - 9 = 0 HIPÉRBOLA, 9x² + 4y² - 36 = 0 ELIPSE, x² + 2x - 6y - 3 = 0 PARÁBOLA, x² + y² + 2x - 6y - 5 = 0 ELIPSE

Si una elipse tiene como semieje mayor 4 y semidistancia focal 5, su excentricidad es: C. e = 5/4

Si una elipse horizontal tiene semieje menor a y semieje mayor 6, sus vértices A y A' son: B. A(6, 0) y A'(-6, 0)

Si una hipérbola horizontal tiene semieje real 3 y semieje imaginario 1, sus vértices B y B' son: A. B(3,0) y B´(-3,0)

Si la hipérbola vertical tiene como semidistancia focal √12, el foco F' es: D. Ninguna de las anteriores

Sucesiones

a₁ + r = a₂ , a₂ + r = a₃ , a₃ + r = a₄ , a₁ + r = a₂
a₂ + r = a₃ ⇔ (a₁ + r) + r = a₃ ⇔ a₁ + 2r = a₃
a₃ + r = a₄ = 20 ⇔ (a₁ + 2r) + r = a₄ ⇔ a₁ + 3r = a₄ ⇔ a₁ + 3r = 20
a₁ + a₂ + a₃ + a₄ = 56 ⇔ a₁ + (a₁ + r) + (a₁ + 2r) + (a₁ + 3r) = 56 ⇔ 4a₁ + 6r = 56
a₁ + 3r = 20 (* -4) ⇒ -4a₁ - 12r = -80
4a₁ + 6r = 56
-4a₁ - 12r = -80
-6r = -24 ⇒ r = 4
a₃ + r = a₄ ⇔ a₃ + 4 = 20 ⇒ a₃ = 16
a₂ + 4 = a₃ ⇔ a₂ + 4 = 16 ⇒ a₂ = 12
a₁ + 4 = a₂ ⇔ a₁ + 4 = 12 ⇒ a₁ = 8
a₁ = 8, a₂ = 12, a₃ = 16, a₄ = 20