Fundamentos de Matemáticas: Cálculo de Errores en Mediciones y Álgebra Vectorial

CALCULO DE ERRORES EN UNA MEDICION

Existen 2 tipos de mediciones fundamentales: Directas e indirectas:

• DIRECTAS: Se obtienen por medio de instrumentos de medición, En base en las unidades de medida y un solo patrón de medida. P.E: Longitud de una mesa
• INDIRECTAS: Se obtienen por medio de fórmulas matemáticas. P.E: La velocidad

NOTA: En cualquier tipo de medición, siempre se cometen errores, ya sea por las características de los aparatos de medición, falta de precaución al usarlos, etc.

ERROR DE MEDICION: Diferencia entre el valor medido y el valor verdadero de la cantidad medida.

VALOR VERDADERO: Valor obtenido al efectuar una medición, mediante instrumentos perfectos y que no sean afectados por el medio, solo hay 2 clases de errores: Sistemáticos y accidentales.

• SISTEMATICOS: Se ocasionan siempre de la misma forma, debido a los siguientes factores:
  
  • Falta de calibración de los instrumentos.
  • Mala construcción de los mismos.
  • Falta de limpieza (mantenimiento)
  • Temperatura ambiental, humedad y presión
• ACCIDENTALES: Ocurren cuando al efectuar varias veces la misma medida de un objeto, se obtiene resultados abajo o arriba del valor verdadero, debido a:
  • Falta de precaución al usarlos.
  • Quien realiza la medición, no coloca su línea visual perpendicular a a escala del instrumento de medición.

CALCULO DE ERRORES EN UNA MEDICION:

1. VALOR MEDIO/ PROMEDIO (V): Suma de todos los valores medidos y divididos entre el número de mediciones efectuadas.
2. ERROR ABSOLUTO (E_A): resta entre c/u de los valores medidos y el valor medio/ promedio.
3. ERROR MEDIO O PROMEDIO (E_M): Suma de todos los errores absolutos y dividió entre el número de errores absolutos (Sin considerar signos).
4. INTERVALO DE INCERTIDUMBRE (∆I): Suma y resta entre el valor medio/ promedio y el error medio
5. ERROR RELATIVO (E_R): División de c/u de los errores absolutos entre el valor medio/ promedio (Sin considerar signos)
6. ERROR PORCENTUAL (E_P): Multiplicación de c/u de los errores relativos por 100.

ALGEBRA VECTORIAL

VECTOR: Es un segmento de recta, pero dirigido

1. PUNTO DE APLICACION: Inicio o lugar donde el vector esta actuando
2. MAGNITUD: Intensidad con la cual el vector esta actuando
3. DIRECCION: Línea sobre la cual el vector esta actuando.
4. SENTIDO: Lugar hacia donde el vector estará actuando.

CANTIDAD/magnitud ESCALAR: Expresión numérica, seguida de su unidad. P.E: 5M, 40N, 30seg.

CANATIDAD/magnitud VECTORIAL: Expresión numérica seguida de su unidad correspondiente, además de su dirección y sentido P.E: 5M(NE).

ESCALA DE TRABAJO: Se establece de acuerdo a nuestras necesidades al tamaño que se le quiera dar al vector y es convencional, las mas utilizadas son: 1:1, 1:5, 1:10, 1:20, 1:40, 1:50, 1:100, 1:200, 1:400, 1:500, 1:1000.

• PEQUEÑA: 1-3 CM
• MEDIANA: 4-7 CM
• GRANDE: 8-12 CM

SISTEMA DE VECTORES

Existen 2 tipos de estos: Colineales (coplanares) y concurrentes (angulares).

COLINEALES/ COPLANARES: Cuando 2 o mas vectores se encuentran en la misma lineal de acción, será positivo si va para la derecha o hacia arriba y negativo, hacia abajo o a la izquierda.

CONCURRENTES/ ANGULARES: Cuando la dirección/ línea de acción de los vectores, se cruza en el punto de aplicación de los vectores. Forman ángulos.

DESCOMPOSICION Y COMPOSICION DE VECTORES

Un sistema de vectores puede sustituirse por un sistema equivalente que puede contener un número mayor o menor de vectores que el original.

• Si el sistema equivalente tiene un número mayor de vectores que el original se llama: Descomposición de un vector (Método del triángulo).
• Si el sistema equivalente tiene un número menor de vectores que el original se llama: Composición de un vector (Método del paralelogramo).

DESCOMPOSICION DE VECTORES

DATOS:

• F: 40 N (NE)
• ∠: 40º
• Fx: ?
• Fy: ?
  • Grafica
  • Analítica

PASOS:

1. para el paso grafico, hay que establecer la escala de trabajo, mediante una regla de 3 en donde 1 cm equivaldrá a 10 N y la F dada, 40N estará con la X por lo que esta medirá 4 cm.
2. una vez lista la escala, trazaremos el plano dependiendo, tomado en cuenta la dirección, en este caso NE (primer cuadrante).
3. ahora con el transportar y colocando el medio en el origen trazaremos el ángulo dado, después, con la regla, le daremos el largo que establecimos en la escala ( 4cm en este caso).
4. después simplemente trazaremos una linea punteada hacia x y y, lo que resulte de medir fx(3.1) y fy(2.7) lo multiplicaremos por la escala (10N en este caso) -> 3.1x10N= 31N         2.7x10N= 27N.
5. Ahora para el analitico, de acuerdo a el cuadrante en el que estemos Sen y Cos, seran positivos o negativos (cuadrante 1: Fx= (F)(Cos∠ ) y Fy=(F)(Sen∠), 2: Fx= (F)(-Cos∠ ) y Fy=(F)(Sen∠). 3: Fx= (F)(-Cos∠ ) y Fy=(F)(-Sen∠) y 4: Fx= (F)(+Cos∠ ) y Fy=(F)(-Sen∠) y ahora solo se intercambian los valores por sus equivalencias.

NOTA: Se puede trabajar con los ángulos equivalentes para no usar las formulas, en el cuadrante 1 se deje el mismo ángulo, en el 2 a 180 le restamos el ángulo que nos den, en el tercero a 180 le sumamos el ángulo que nos den y en el 4 a 360 le restamos el ángulo que nos den

COMPOSICION DE VECTORES

DATOS:

• F1: 40 N (N) (eje y)
• F2: 30 N (E) (eje x)
• FR: ?
• ∠: ?
  
  • Grafica
  • Analítica

PASOS:

1. para el paso grafico, hay que establecer la escala de trabajo, mediante una regla de 3 en donde 1 cm equivaldrá a 10 N y la F dada, 40 y 30 N estará con la X por lo que esta medirá x₁: 4cm y x₂: 3 cm
2. una vez lista la escala, trazaremos el plano dependiendo, tomado en cuenta la dirección, en este caso N y E (primer cuadrante).
3. ahora con la regla trazaremos a x1 y x2, dependiendo si esta en x o en y de acuerco a la grafican deberan de medir 4 y 3 cm respectivamente, luego, las unimos con lineas punteadas
4. después simplemente desde el punto de origen de la grafica haremos una linea diagonal hasta llegar al punto en el que se cruzan las lineas punteada, asi pues para oponer el Fr (gráficamente) multiplicaremos lo que haya medido esta linea por la escala  (10N) lo que dara un aproximado de 50 N.
5. Ahora para el analítico, de acuerdo a la formula Fr= √ (F1)²+(f2)² obtendremos el Factor resultante sustituyendo los valor con sus equivalentes dados en los datos. Para el angulo, seguiremos la formula tan^-1(fy/fx)

NOTA: Los angulos en el 2 y 4 son negativos y en 1 y 3 seran positivos

INVESTIGACIONES

• El antecesor del vector, es el cuaternion, formado por dos partes: una parte real y una parte imaginaria y todo esto planteado gracias a los aportes del irlandés, William Hamilton.
• análisis vectorial, el cual se lo debemos en al físico norteamericano Gibbs.
• Cuando el vector a multiplicar es el vector nulo: v = (0,0); Entonces, la multiplicación de cualquier número con el
  vector nulo será igual a cero
• Si el número que multiplica al vector es mayor que cero: El vector resultante tendrá la misma dirección y
  sentido que el vector v, pero su tamaño será tantas veces mayor como el valor del número.
• Si el número por el que se multiplica el vector es menor que cero: El vector resultante será un vector con la
  misma dirección, pero con sentido contrario.