Fundamentos de la Lógica Proposicional: Lenguaje, Sustitución y Semántica

1. Definición del Lenguaje de la Lógica Proposicional

La lógica proposicional es un lenguaje formal simple, constituido por un conjunto infinito enumerable de variables proposicionales (fórmulas atómicas como p, q, r, etc.) que representan enunciados considerados simples. A partir de estas variables, se construyen fórmulas complejas mediante el uso de operadores proposicionales (¬, →, ∨, ∧, ↔), paréntesis y subíndices, siguiendo una serie de reglas de formación.

Las fórmulas complejas representan enunciados complejos cuyo valor de verdad o falsedad nos interesa determinar. Este valor depende directamente de las fórmulas más simples a partir de las cuales están formadas y del modo en que se combinan. Por ejemplo, si A y B son fórmulas bien formadas (FBF), también lo serán A∨B (disyunción) y ¬A (negación).

2. La Sustitución en Lógica Proposicional y su Importancia

¿Qué se entiende por Sustitución?

La sustitución es una función fundamental que se aplica a fórmulas para generar otras fórmulas. Dada una fórmula A que contiene una variable proposicional específica (p), podemos reemplazar todas las apariciones de p en A por otra fórmula B. La fórmula resultante se representa como A(B/p), indicando la sustitución de todas las ocurrencias de p por B.

Es crucial entender que, en este concepto de sustitución, siempre se reemplaza una fórmula atómica por otra. Nunca se puede reemplazar una fórmula compleja por otra fórmula compleja. La regla es clara: se deben reemplazar todas las apariciones de la variable proposicional (p) en A por las apariciones de la fórmula B.

¿Por qué es un concepto importante?

La sustitución es un concepto de gran relevancia en lógica proposicional por las siguientes razones:

• Preservación de la estructura: Transforma fórmulas en otras con una estructura similar, lo que significa que la forma original de A se mantiene presente en cualquier sustitución.
• Mantenimiento de propiedades estructurales: Cualquier propiedad de las fórmulas que dependa exclusivamente de su estructura se conserva al realizar sustituciones. Esto es vital para la demostración de teoremas y la validez de inferencias.

3. La Semántica de la Lógica Proposicional

La semántica de la lógica proposicional es la rama que estudia el significado del lenguaje formal proposicional. Su principal objetivo es determinar el valor de verdad o falsedad de las fórmulas, y con ello, establecer la relación de consecuencia lógica.

En el caso de las fórmulas complejas, su verdad o falsedad depende tanto de las fórmulas más simples que las componen como del modo en que estas están estructuradas. Por lo tanto, a las variables proposicionales se les atribuye un significado y un valor de verdad (verdadero o falso). Una vez conocidos el significado y el valor de verdad de cada variable proposicional, es posible determinar el significado y el valor de verdad de las fórmulas complejas que las contienen.

4. ¿Qué es una Valuación?

Una valuación es cualquier función que asigna un valor de verdad (verdadero o falso, comúnmente representados como 1 o 0) a cada variable proposicional. Formalmente, es una función de las Fórmulas Bien Formadas (FBF) al conjunto {1, 0} que cumple, para cualesquiera fórmulas A y B, las siguientes cinco condiciones:

• V(¬A) = 1 si y solo si V(A) = 0
• V(A ∨ B) = 1 si y solo si V(A) = 1 o V(B) = 1
• V(A ↔ B) = 1 si y solo si V(A) = V(B)
• V(A ∧ B) = 1 si y solo si V(A) = 1 y V(B) = 1
• V(A → B) = 1 si y solo si V(A) = 0 o V(B) = 1

La valuación de cualquier fórmula compleja queda completamente determinada por los valores asignados a las variables proposicionales que la componen.