Fundamentos de Lógica Proposicional: Asignaciones, Equivalencias y Paradojas

Una asignación (de un lenguaje proposicional) es una función (o regla) que asigna a cada una de las letras proposicionales del lenguaje considerado un valor de verdad. Es decir, a cada letra proposicional le asignamos o bien el valor V o bien el valor F.

Es habitual utilizar el símbolo v (con subíndices o superíndices si es necesario) para referirnos a una asignación.

Vamos a argumentar por reducción al absurdo.

En este tipo de argumentación suponemos que la fórmula no es una tautología y de aquí obtenemos una contradicción; concluyendo por tanto que la suposición es falsa, es decir, que la fórmula sí es una tautología.

Decimos que dos fórmulas son lógicamente equivalentes si son verdaderas en exactamente las mismas asignaciones. Y por tanto, también son falsas en exactamente las mismas asignaciones. Así pues, dos fórmulas son lógicamente equivalentes si y sólo si toman el mismo valor en toda asignación.

Decimos que un conjunto Γ de fórmulas es satisfacible si existe una asignación v que hace verdadera a todas las fórmulas de Γ. En tal caso también diremos que v satisface Γ. Y decimos que un conjunto Γ de fórmulas es insatisfacible si no es satisfacible (es decir, si no existe una asignación que hace verdadera a todas las fórmulas de Γ).

Decimos que una fórmula α es consecuencia lógica de un conjunto de fórmulas Γ si α es verdadera en todas las asignaciones que satisfacen Γ. En tal caso, también diremos que el argumento formado por las premisas (o hipótesis) Γ y la conclusión α es lógicamente correcto. Y también diremos que Γ implica lógicamente α.

Un literal (con respecto a las letras de P) es una letra proposicional de P o la negación de una letra proposicional de P.

Una conjunción de literales (con respecto a las letras de P) es una fórmula de la forma β1 ∧...∧Bm

Una fórmula está en forma normal disyuntiva (FND) (con respecto a las letras de P) si es de la forma α1 ∨...∨αn. Una fórmula está en forma normal disyuntiva completa (con respecto a las letras de P) si es de la forma α1 ∨...∨αn. Sheffer consideró conectivas primitivas para las tablas de verdad anteriores números 9 y 15; conocidas, respectivamente, con los nombres de barra de Sheffer | y flecha de Sheffer ↓. La barra de Sheffer tiene la propiedad interesante de que con ella sola podemos obtener todo el resto de conectivas (es decir, todas las otras tablas de verdad). Y lo mismo ocurre con la flecha de Sheffer; con ella sola podemos obtener todo el resto de conectivas (es decir, todas las otras tablas de verdad.

La Paradoja de (Bertrand) Russell

Esta paradoja justifica que el hecho de asumir que toda propiedad nos determina un conjunto es en sí mismo contradictorio. ¿Por qué?

Argumento

Supongamos que consideramos el conjunto {x : x ̸∈ x} y llamémoslo A. Entonces, sucede que o bien:

• A ∈ A: En este caso se tiene que A cumple la propiedad que define al conjunto A, y por tanto A ̸∈ A; lo cual es contradictorio con lo anterior.
• A ̸∈ A: En este caso se tiene que A no cumple la propiedad que define al conjunto A, y por tanto A ∈ A; lo cual es contradictorio con lo anterior.

Paradoja de Grelling-Nelson

Es la de Russell formulada para adjetivos (se basa en introducir los adjetivos autológico y heterológico)