Fundamentos de Lógica Cuantificacional: Cuantificadores, Dominios y Negación de Proposiciones

Fundamentos de Lógica Cuantificacional

1. Cuantificadores Lógicos

A la expresión “hay (al menos) un X (variable) tal que…” la abreviaremos ∃x, y la llamaremos cuantificador existencial.

A la expresión “para todo α [se cumple que… se tiene que…]” o “cualquier α [es tal que… cumple con… satisface…]” o “todo α [es tal que... cumple con... satisface...]” la abreviaremos ∀α, y la llamaremos cuantificador universal.

2. Dominio de una Variable

Definición

Si R es una variable, al conjunto de cuyos elementos designa (en forma indeterminada) la variable R, lo llamaremos dominio de la variable R, y lo abreviaremos DOM(R).

Ejemplo

DOM(x) = ℝ; significa que la variable “x” puede ser sustituida por (y además denotar) valores reales.

3. Ejemplos de Proposiciones Cuantificadas

Consideremos las siguientes proposiciones:

1. P(x,z): “(x ∈ ℝ) & (z ∈ ℝ) & (x < z)”

Analicemos la expresión ∃x ∃z (x ∈ ℝ) & (z ∈ ℝ) & (x < z):

• Interpretación: Hay al menos un X y al menos un Z tales que X es un número real y Z es un número real, y X es menor que Z.
• Significado simplificado: Hay al menos dos números reales tales que uno de ellos es menor que el otro.
• Valor de verdad: Verdadero (por ejemplo, X=1, Z=2).

2. Q(x,z): “[(x ∈ ℝ) & (z ∈ ℝ)] ⇒ (x < z)”

Analicemos las siguientes expresiones con cuantificadores:

• ∃x ∀z Q(x,z):
  • Interpretación: Hay al menos un X tal que para todo Z se tiene que si X es real y Z es real, entonces X es menor que Z.
  • Significado simplificado: Hay un número real que es menor que cualquier otro número real.
  • Valor de verdad: Falso (no existe un número real que sea menor que todos los demás números reales).
• ∀z ∃x Q(x,z):
  • Interpretación: Para todo Z existe al menos un X tal que si X es real y Z es real, entonces X es menor que Z.
  • Significado simplificado: Para todo número real Z, existe un número real X menor que él.
  • Valor de verdad: Verdadero (por ejemplo, para cualquier Z, podemos elegir X = Z-1, y X es real y X < Z).

4. Ejercicios con Dominio Específico

Supongamos que DOM(X) = DOM(Z) = ℤ (el conjunto de los números enteros).

Consideremos la proposición Q(x,z): “(X > 2) & (Z = x+1)”.

Exprese en castellano el significado de cada una de las siguientes oraciones y diga cuáles son verdaderas y cuáles son falsas (explique por qué son verdaderas o falsas en cada caso):

• ∃x ∃z Q(x,z):
  • Interpretación: Existe al menos un número entero X y existe al menos un número entero Z tal que X > 2 y Z = x+1.
  • Significado simplificado: Existen al menos dos números enteros tales que el primero es mayor que 2 y el segundo es el siguiente del primero.
  • Valor de verdad: Verdadero.

    Explicación: Podemos tomar X = 3. Entonces X > 2 es verdadero. Si Z = X+1, entonces Z = 4. Así, el par (3,4) satisface la proposición.

• ∀x ∀z Q(x,z):
  • Interpretación: Para todo número entero X y para todo número entero Z, se cumple que X > 2 y Z = x+1.
  • Significado simplificado: Cualquier par de números enteros cumple que el primero es mayor que 2 y el segundo es el siguiente del primero.
  • Valor de verdad: Falso.

    Explicación: Si tomamos X = 1, la condición X > 2 es falsa. Por lo tanto, la proposición no se cumple para todos los X.

• ∀x ∃z Q(x,z):
  • Interpretación: Para todo número entero X existe al menos un entero Z tal que X > 2 y Z = x+1.
  • Significado simplificado: Para todo número entero X, existe al menos otro entero Z tal que X es mayor que 2 y Z es el siguiente de X.
  • Valor de verdad: Falso.

    Explicación: Si tomamos X = 1, la condición X > 2 es falsa. Por lo tanto, no existe un Z que haga la proposición verdadera para X=1.

• ∃z ∀x Q(x,z):
  • Interpretación: Existe al menos un número entero Z tal que para cualquier número entero X, se cumple que X > 2 y Z = x+1.
  • Significado simplificado: Existe un número entero Z fijo tal que para cualquier número entero X, X es mayor que 2 y Z es el siguiente de X.
  • Valor de verdad: Falso.

    Explicación: Si Z = x+1, entonces X = Z-1. Para que esto sea cierto para cualquier X, Z-1 debería ser cualquier X, lo cual es imposible para un Z fijo. Además, la condición X > 2 no se cumpliría para todos los X.

• ∃x ∀z Q(x,z):
  • Interpretación: Existe al menos un número entero X tal que para todo número entero Z, se cumple que X > 2 y Z = x+1.
  • Significado simplificado: Existe un número entero X fijo (mayor que 2) tal que cualquier número entero Z es su siguiente.
  • Valor de verdad: Falso.

    Explicación: Si Z = x+1, entonces Z es único para un X dado. No puede ser "cualquier" Z. Por ejemplo, si X=3, entonces Z debe ser 4. No puede ser Z=5, Z=6, etc.

• ∀z ∃x Q(x,z):
  • Interpretación: Para todo número entero Z existe al menos un número entero X tal que X > 2 y Z = x+1.
  • Significado simplificado: Para todo número entero Z, existe al menos un número entero X tal que X es mayor que 2 y Z es el siguiente de X.
  • Valor de verdad: Falso.

    Explicación: Para que la proposición sea verdadera, para cada Z, debemos encontrar un X tal que X = Z-1 y X > 2. Esto significa que Z-1 > 2, o Z > 3. Esta condición no se cumple para todos los enteros Z. Por ejemplo, si Z = 1, entonces X = 0, y 0 no es mayor que 2.

5. Negación de Proposiciones Cuantificadas

Niega la siguiente oración:

Original: ∀x ∃z ∀w ∃h [ (x = z+1) ∨ (w = 2x) ] & [ h = zx - w ]

Para negar una proposición cuantificada, se aplican las siguientes reglas:

• La negación de un cuantificador universal (∀) es un cuantificador existencial (∃) y viceversa.
• La negación de una conjunción (P & Q) es la disyunción de las negaciones (¬P ∨ ¬Q).
• La negación de una disyunción (P ∨ Q) es la conjunción de las negaciones (¬P & ¬Q).

Aplicando estas reglas paso a paso:

Sea la proposición original P = ∀x ∃z ∀w ∃h [ A & B ], donde:

• A = (x = z+1) ∨ (w = 2x)
• B = (h = zx - w)

La negación ¬P será:

¬P = ∃x ∀z ∃w ∀h ¬[ A & B ]

Ahora, negamos la parte entre corchetes ¬[ A & B ]:

¬[ A & B ] = ¬A ∨ ¬B

Calculamos ¬A:

¬A = ¬[ (x = z+1) ∨ (w = 2x) ] = ¬(x = z+1) & ¬(w = 2x) = (x ≠ z+1) & (w ≠ 2x)

Calculamos ¬B:

¬B = ¬(h = zx - w) = (h ≠ zx - w)

Sustituyendo ¬A y ¬B en ¬A ∨ ¬B:

¬[ A & B ] = [ (x ≠ z+1) & (w ≠ 2x) ] ∨ [ h ≠ zx - w ]

Finalmente, la negación completa de la oración es:

Negación: ∃x ∀z ∃w ∀h [ (x ≠ z+1) & (w ≠ 2x) ] ∨ [ h ≠ zx - w ]

Notas sobre Negación de Proposiciones Compuestas:

• Regla 1: ¬(P & Q) ≡ (¬P) ∨ (¬Q) (Ley de De Morgan)
• Regla 2: ¬(P ∨ Q) ≡ (¬P) & (¬Q) (Ley de De Morgan)