Fundamentos del Lenguaje Matemático y Estructuras Aritméticas de los Números Naturales

Lenguaje Matemático, Proposiciones y Estructuras

El Lenguaje y sus Formas

Lenguaje Matemático: Capacidad del ser humano (S.H.) para expresarse y comunicarse a través de sonido o algún otro sistema de signos. Puede ser de forma escrita u oral. Es el resultado de muchas circunstancias.

Lenguaje Formal: Son aquellos lenguajes artificiales que están sometidos a unas formas fijas de formación o significado.

Enunciados y Proposiciones

Enunciados: Es el mínimo segmento lingüístico que tiene un sentido completo por sí mismo.

Proposiciones: Es una expresión en un lenguaje, un elemento que proporciona información al afirmar algo que puede ser Verdadero (V) o Falso (F).

Tipos de Proposiciones

• Atómicas: Aquellas de las que se puede decir si son V/F con el sentido o conocimiento.
• Moleculares: Compuestas por varias proposiciones atómicas unidas mediante conectores.

Paradoja: Un enunciado del que no podemos decir si es V/F.

Cuantificadores

Indicadores de cantidad con respecto a los objetos a los que hace referencia una proposición:

1. Todos
2. Algunos
3. Ninguno

Relaciones y Patrones

Clasificar un objeto según una cualidad.

Clasificación y Dicotomía

• Clasificación: Organización de un conjunto dado en subconjuntos siguiendo un determinado criterio.
• Dicotomía: Consiste en clasificar el conjunto en dos subconjuntos a partir de una proposición atómica que hace referencia a una determinada cualidad.

Relación de Equivalencia

Una relación debe cumplir tres propiedades:

1. Reflexiva: Todo elemento debe estar relacionado consigo mismo (A se relaciona con A).
2. Simétrica: Si A se relaciona con B, entonces B tiene que estar relacionado con A.
3. Transitiva: Si A se relaciona con B, y B está relacionado con C, por tanto, A está relacionado con C.

Tipos de Patrones

1. Repetición: El motivo inicial no cambia, es decir, se repite a lo largo de la sucesión.
2. Desarrollo: El motivo inicial se ve modificado al añadir una cierta regla.

Teoría de Conjuntos y Números Naturales

Teoría de Conjuntos

Es una agrupación de objetos bien definidos y diferenciados entre sí. A estos objetos se les llama elementos del conjunto. Se denota el conjunto con letras mayúsculas y los elementos en minúsculas. La representación puede ser por Extensión o por Comprensión.

Axiomática y Números Naturales

La Axiomática es la regla de cómo definimos los números naturales. Los Axiomas son proposiciones tan sencillas que no precisan de demostración.

Representación de los Números Naturales

1. Verbales
2. Símbolos
3. Gráfica
4. Manipulación

Uso del Número

Su función es:

• Contar (Cardinales): Número de elementos de un conjunto.
• Ordenar (Ordinales): Ordenar en una posición.

Habilidades Numéricas

• Subitizar: Consiste en saber cuántos elementos hay en una colección de forma rápida, contar de una simple vista.
• Estimar: Decir de forma aproximada el número de elementos que hay en un conjunto.

Principios del Conteo

Principios para que no haya fallos y se pueda contar bien:

1. De orden estable.
2. De correspondencia (a cada objeto le asignamos un único número).
3. De biunivocidad (cada término debe ser asignado a un único objeto).
4. De cardinalidad.
5. De irrelevancia del orden.
6. De abstracción.

Sistema de Numeración

Conjunto finito de símbolos y reglas que nos permiten escribir cualquier número natural. Tipos: Posicionales y No Posicionales.

Estructuras Aditivas y Multiplicativas

Propiedades de la Suma (Adición)

1. Clausura: La suma de dos números naturales es siempre otro número natural.
2. Conmutativa: El orden de los sumandos no altera la suma.
3. Asociativa: Si sumamos tres números naturales, no importa el orden en el que realicemos la suma.
4. Existencia del Elemento Neutro: Existe un elemento, el 0, tal que deja invariante el resultado.

Propiedades de la Resta (Sustracción)

1. No se cumple la Clausura.
2. No se cumple la Conmutativa.
3. No se cumple la Asociativa.
4. Elemento Neutro: Solo por la derecha (A - 0 = A).
5. Compensatoria: La resta de dos números (minuendo y sustraendo) se mantiene si sumamos o restamos a ambos una cantidad fija.

Estructura Multiplicativa

Multiplicación

Multiplicar dos números naturales consiste en aumentar el primero el número de veces que indique el segundo.

Modelos de Multiplicación

• Suma Repetida: Proceso que simplifica sumar repetidamente un número consigo mismo una cantidad determinada de veces.
• Producto Cartesiano: Todas las posibles combinaciones de los elementos de dos conjuntos.

Propiedades de la Multiplicación

1. Clausura: Si se multiplican dos números naturales, el resultado es un número natural.
2. Asociativa: Si tenemos más de dos factores, no importa el orden en el que realicemos la multiplicación.
3. Conmutativa: El orden de los factores no altera el producto.
4. Elemento Neutro: Multiplicar un número por 1 lo deja igual.
5. Multiplicación por Cero: El producto de cualquier número por 0 da 0.

División

Modelos de División

• División Partitiva: El dividendo se reparte entre una cantidad conocida como divisor.
• División por Medida: Conocemos el dividendo y el tamaño de las partes (cociente).

Propiedades de la División

1. No cumple Clausura (la división de dos números naturales no siempre da un número natural).
2. No se cumple la Conmutativa.
3. No se cumple la Asociativa.
4. Elemento Neutro: Solo por la derecha (A / 1 = A).
5. La división entre 0 no está definida.