Fundamentos de la Integral Definida y Teoremas del Cálculo

Definición de la integral

1 Construcción de la integral

Definición 1

Sea [a, b] un intervalo. Una partición de [a, b] es un conjunto finito de puntos {x₀, x₁, . . . , x_n} tal que a = x₀ < x₁ < . . . < x_n = b. Usualmente, se denota por P := {x₀, x₁, . . . , x_n}.

Propiedades

Sea P := {x₀, . . . , x_n} una partición de [a, b]; esta define n subintervalos [x_i, x_i+1] para todo i = 0, . . . , n−1 que dividen a [a, b]. Además, se cumple que:

Σ_i=0^n-1 (x_i+1 − x_i) = b − a

Notación

Sea f : [a, b] → R acotada y P una partición de [a, b]. Definimos los siguientes valores:

• 1. m = inf{f(x) | x ∈ [a, b]}
• 2. M = sup{f(x) | x ∈ [a, b]}
• 3. m_i = inf{f(x) | x ∈ [x_i, x_i+1]} para todo i = 0, . . . , n − 1
• 4. M_i = sup{f(x) | x ∈ [x_i, x_i+1]} para todo i = 0, . . . , n − 1

Lema 1

Sea f : [a, b] → R acotada y P una partición de [a, b]. Entonces, se cumple que: m ≤ m_i ≤ M_i ≤ M.

Sea f : [a, b] → R acotada y P una partición de [a, b]. Definimos las siguientes sumas:

• 1. Suma inferior/superior de f en P: L(f, P) = Σ_i=0^n-1 m_i(x_i+1 − x_i).

Definición 2

Sea [a, b] un intervalo y P, P′ dos particiones de [a, b]. Decimos que P′ es más fina que P si P ⊆ P′.

Lema 2

Sea f : [a, b] → R acotada y P, P′ dos particiones de [a, b] con P ⊆ P′. Entonces, se cumple que:

L(f, P) ≤ L(f, P′) ≤ U(f, P′) ≤ U(f, P)

Demostración: Por la definición de m_i y M_i, tenemos que m_i ≤ m_i′ ≤ M_i′ ≤ M_i para todo i = 0, . . . , n − 1 e i′ = 0, . . . , n′ − 1. Por tanto, se cumple que m_i(x_i+1 − x_i) ≤ m_i′(x_i′+1 − x_i′) ≤ M_i′(x_i′+1 − x_i′) ≤ M_i(x_i+1 − x_i) para todo i = 0, . . . , n − 1 e i′ = 0, . . . , n′ − 1. Sumando estas desigualdades, obtenemos L(f, P) ≤ L(f, P′) ≤ U(f, P′) ≤ U(f, P). Q.E.D.

Definición 3

Sea f : [a, b] → R acotada y P una partición de [a, b]. Definimos la integral inferior y la integral superior de f en [a, b] como:

• ∫_a^b f(x)dx = sup{L(f, P) | P partición de [a, b]}
• ∫^b_a f(x)dx = inf{U(f, P) | P partición de [a, b]}

Proposición 1

Sea f : [a, b] → R acotada. Entonces, se cumple que: ∫_a^b f(x)dx ≤ ∫^b_a f(x)dx.

Definición 4

Sea f : [a, b] → R acotada. Decimos que f es integrable en [a, b] si:

∫_a^b f(x)dx := ∫_a^b f(x)dx = ∫^b_a f(x)dx

2 Propiedades de la integral

Proposición 2

Sea f, g : [a, b] → R acotadas y α ∈ R. Entonces, se cumplen las siguientes propiedades:

• 1. Linealidad: ∫_a^b (αf(x) + g(x))dx = α ∫_a^b f(x)dx + ∫_a^b g(x)dx.
• 2. Comparación: si f(x) ≤ g(x) para todo x ∈ [a, b], entonces ∫_a^b f(x)dx ≤ ∫_a^b g(x)dx.
• 3. Acotación: si m ≤ f(x) ≤ M para todo x ∈ [a, b], entonces m(b − a) ≤ ∫_a^b f(x)dx ≤ M(b − a).

Proposición 3

Sea f : [a, b] → R acotada y c ∈ (a, b). Entonces, se cumple que:

∫_a^b f(x)dx = ∫_a^c f(x)dx + ∫_c^b f(x)dx

Deben existir dos de las tres integrales para que esté bien definida la tercera.

Integración de funciones

1 Funciones elementales

Proposición 4

Sea f : [a, b] → R una función monótona. Entonces, f es integrable en [a, b].

Teorema 1 (Teorema fundamental del cálculo)

Sea f : [a, b] → R una función continua. Entonces, la función F : [a, b] → R definida por F(x) = ∫_a^x f(t)dt es continua y derivable en [a, b], y su derivada es f.

Teorema 2 (Teorema de Barrow)

Sea f : [a, b] → R una función continua. Entonces, se cumple que:

∫_a^b f(x)dx = F(b) − F(a)

donde F es una primitiva de f.

Teorema 3 (Teorema fundamental del cálculo para integrales indefinidas)

Sea f : [a, b] → R una función continua. Entonces, se cumple que:

∫ f(x)dx = F(x) + C

donde F es una primitiva de f y C es una constante.

Teorema 4 (Teorema fundamental del cálculo para integrales impropias)

Sea f : [a, b] → R una función continua. Entonces, se cumple que:

∫_a^b f(x)dx = lim_c→a ∫_c^b f(x)dx = lim_c→b ∫_a^c f(x)dx

Teorema 5 (Teorema del valor medio para integrales)

Sea f : [a, b] → R continua. Entonces, existe un c ∈ [a, b] tal que:

∫_a^b f(x)dx = f(c)(b − a)

Teorema 6 (Integración por partes)

Sean f, g : [a, b] → R funciones continuas y derivables. Entonces, se cumple que:

∫ f(x)g′(x)dx = f(x)g(x) − ∫ f′(x)g(x)dx

Teorema 7 (Cambio de variable)

Sea f : [a, b] → R una función continua y g : [c, d] → [a, b] una función continua y derivable. Entonces, se cumple que:

∫_a^b f(x)dx = ∫_c^d f(g(t))g′(t)dt