Fundamentos de Integración Numérica: Regla del Trapecio y Fórmulas de Simpson

1. Fórmula de los Trapecios

Se conocen los $n+1$ valores $x_0, x_1, \dots, x_n$, que cumplen con la condición $x_k - x_{k-1} = h$ para $k=1, 2, \dots, n$. Una primera aproximación al valor del área que se debe calcular, limitada por los puntos $x_0, A_0, A_1, \dots, A_n, x_n$, se obtiene sumando las áreas de los trapecios inscritos en cada una de las superficies parciales limitadas por los conjuntos de puntos:

Esta es la conocida Fórmula de los Trapecios. En ella, se denomina $E$ a la suma de las ordenadas extremas; $P$ e $I$ a las sumas de las ordenadas de subíndices pares e impares, respectivamente. Puede considerarse como una discretización, ya que se reemplaza la curva, dada por una función continua, por la poligonal descrita por los puntos dados. Por tal motivo, su precisión no es muy elevada.

2. Fórmula de Simpson (Regla del Tercio)

El cálculo del área es más preciso si se utilizan segmentos de parábola para aproximar los arcos de curva, en lugar de emplear segmentos de recta. Considerando el caso de la parábola de segundo grado, se debe determinar el área comprendida entre el eje de las $x$, la parábola de eje vertical que pasa por tres puntos dados y sus ordenadas extremas.

Llamando $A_0, A_1, A_2$ a los puntos de abscisas equidistantes ($x_1 - x_0 = x_2 - x_1 = h$), se hace pasar el eje $y$ por el punto intermedio $A_1$, con lo cual no se pierde generalidad ($x_0 = -h; x_1 = 0; x_2 = h$). En general, la parábola de segundo grado es $y = ax^2 + bx + c$, la que, al pasar por los puntos dados, resulta:

En caso de haber subdividido el intervalo de integración en un número par de franjas, tal que la cantidad de puntos que describen la curva sea impar, se puede aplicar la metodología tomando de a tres puntos; de esta manera, se obtiene la Fórmula de Simpson:

3. Regla de los Tres Octavos de Simpson

Esta regla se utiliza cuando se tiene una cantidad $n$ impar de franjas, es decir, un número par de puntos. Para la determinación de las áreas parciales, es necesario utilizar parábolas de tercer grado que conecten cuatro puntos consecutivos de la curva en cuestión.

Su expresión general es: $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$. Para determinar los valores de los parámetros $a, b, c, d$, se impone a la parábola la condición de que pase por los cuatro puntos $A_0, A_1, A_2, A_3$.

Se ubica el eje de las $y$ en el medio del intervalo de integración, con lo cual resulta $-3h/2 \le x \le 3h/2$, siendo $3h$ la amplitud total del mismo. El área buscada resulta:

Esta es la denominada Regla de los Tres Octavos de Simpson.

Cuando se tiene una cantidad impar de franjas, puede aplicarse este método a las tres primeras, luego se aplica la fórmula de Simpson anterior (Regla del Tercio) al resto de las franjas y, por último, se suman ambos resultados.