Fundamentos de la Inferencia Estadística: Muestreo, Estimación y Confianza

Conceptos Fundamentales en Estadística Inferencial

Llamaremos estadístico a cualquier función de la muestra aleatoria simple. Si estamos interesados en estudiar distintas características de la población X, el procedimiento es estudiarla sobre la muestra elegida de dicha población e inferir dichas características a la población.

Requisitos para una Inferencia Fiable

Lógicamente, para que la inferencia sea válida, se deben cumplir ciertas condiciones:

• La muestra debe ser representativa de la población.
• La inferencia ha de hacerse en términos de probabilidad, por lo que los elementos han de ser elegidos al azar, sin tendencias ni predisposiciones sistemáticas.
• Hay que dar una medida del posible error de la inferencia.

El Tamaño de la Muestra

Otro elemento crucial que tendremos que estudiar es el tamaño de la muestra. El objetivo será obtener un tamaño de la muestra razonable, que nos permita resolver los problemas con un máximo de error prefijado.

Proceso de Muestreo

Hay distintas formas de extraer muestras de una población (Proceso de muestreo). En este contexto, utilizaremos el muestreo aleatorio simple, que se caracteriza porque la muestra extraída es una muestra aleatoria simple, es decir:

• Todos los elementos de la población tienen la misma probabilidad de ser elegidos.
• El resultado de la elección de un elemento es independiente de las elecciones de los anteriores elementos.

Definición: Llamaremos estadístico a cualquier función de la muestra aleatoria simple. Por ejemplo, la media muestral (x̅) es un estadístico.

Otros tipos de muestreo son: Muestreo estratificado, muestreo por conglomerados y muestreo sistemático.

Estimación Estadística

Estimación Puntual

Los objetivos que nos marcamos en esta sección son:

1. A través de un estadístico, obtener valores aproximados del parámetro una vez obtenida la muestra aleatoria. Este proceso se llama estimación puntual del parámetro y al estadístico, se le llama estimador del parámetro.
2. A través de un estadístico, dar un intervalo que contenga al parámetro con una probabilidad alta, que se denomina nivel de confianza. Este proceso se llama estimación del parámetro por intervalos de confianza con un nivel de confianza determinado.

Un estimador es simplemente un estadístico que trata de aproximar algún parámetro de la población en estudio.

Estimación por Intervalos de Confianza

En la práctica, los estimadores puntuales por sí solos no dicen mucho, por lo que suelen acompañarse de una medida del error que se puede cometer con dicha estimación. Por ejemplo, cuando se dice que las expectativas de votos para un determinado partido son del 34%, se acompaña esta estimación puntual con un porcentaje del error que se comete, por ejemplo ±2% y del nivel de confianza utilizado (por ejemplo, 1-α = 99%, donde α es un número entre cero y uno).

Veamos el significado de lo anterior. Realmente lo que se está haciendo es una estimación por intervalos de confianza.

Nivel de Confianza (1-α)

El nivel de confianza (1-α) lo elegimos nosotros. Lógicamente, cuanto menor sea α, mayor será el nivel de confianza (1-α) y mayor será el intervalo de confianza, para un tamaño de muestra fija. Cuanto mayor sea el tamaño de la muestra, se obtienen resultados más fiables o más precisos (intervalos más pequeños).

Los valores más usuales para α son α = 0.05, 0.01 y 0.001, que corresponden a los niveles de confianza 1-α = 0.95, 0.99 y 0.999 respectivamente. Los intervalos de confianza se calculan utilizando la distribución del estadístico usado para la estimación puntual.

Amplitud del Intervalo

Definición: Se llama amplitud del intervalo a la diferencia entre su extremo superior e inferior.

Nos preguntamos: ¿cuántos intervalos de confianza existen con el mismo nivel de confianza (1-α)? La respuesta es infinitos. De estos intervalos, ¿cuál será el óptimo? Lógicamente, el que dé mayor información sobre el parámetro, y ese será el intervalo que tenga menor amplitud.