Fundamentos de Hidrostática Aplicada: Cálculo de Presión, Densidad y Principios de Pascal y Arquímedes

Conceptos Fundamentales de Presión y Fluidos

A continuación, se presenta la resolución detallada de problemas fundamentales de hidrostática, aplicando los principios de Pascal y Arquímedes, así como el cálculo de presión ejercida por sólidos y fluidos.

Fórmulas Clave de Hidrostática

Problema 1: Presión ejercida por un bloque cúbico

Un bloque de piedra tiene una masa de 3.2 toneladas y una forma cúbica de 80 cm de arista. Encuentre la presión que ejerce sobre su base.

Resolución

• Datos: m = 3.2 t = 3200 kg; L = 80 cm = 0.8 m.
• 1. Cálculo de la Fuerza (Peso):
  F = m · g = 3200 kg · 9.8 m/s² = 31360 N
• 2. Cálculo del Área de la Base:
  A = L · L = 0.8 m · 0.8 m = 0.64 m²
• 3. Cálculo de la Presión:
  P = F / A = 31360 N / 0.64 m² = 49000 Pa

Problema 2: Presión de una columna cilíndrica

Una columna cilíndrica de 70 cm de diámetro y 2.5 m de altura tiene una densidad de 3450 kg/m³. Calcule la presión que soporta la base de la columna con su propio peso.

Resolución

• Datos: D = 70 cm → r = 0.35 m; h = 2.5 m; d = 3450 kg/m³.
• 1. Cálculo del Volumen del Cilindro:
  V = π · r² · h = π · (0.35 m)² · 2.5 m ≈ 0.962 m³
• 2. Cálculo de la Masa:
  m = d · V = 3450 kg/m³ · 0.962 m³ ≈ 3319.29 kg
• 3. Cálculo de la Fuerza (Peso):
  F = m · g = 3319.29 kg · 9.8 m/s² ≈ 32529.04 N
• 4. Cálculo del Área de la Base:
  A = π · r² = π · (0.35 m)² ≈ 0.3848 m²
• 5. Cálculo de la Presión:
  P = F / A = 32529.04 N / 0.3848 m² ≈ 84535 Pa

Problema 3: Comparación de Presiones (Aguja vs. Camión)

Una aguja cuya sección es de 0.05 mm² ejerce una fuerza de 2 N contra una superficie. Un camión de 20000 kg tiene 10 ruedas, cada una de las cuales se apoya en el suelo sobre una superficie de 800 cm². ¿Cuál de los dos cuerpos ejerce mayor presión, la aguja o el camión?

Resolución

A. Presión ejercida por la Aguja

• Datos: F_A = 2 N; A_A = 0.05 mm².
• 1. Conversión de Área:
  A_A = 0.05 mm² · (1 m² / 10⁶ mm²) = 5 · 10⁻⁸ m²
• 2. Cálculo de la Presión de la Aguja:
  P_A = F_A / A_A = 2 N / (5 · 10⁻⁸ m²) = 40,000,000 Pa (4 · 10⁷ Pa)

B. Presión ejercida por el Camión

• Datos: M_C = 20000 kg; A_rueda = 800 cm² (10 ruedas).
• 1. Cálculo de la Fuerza (Peso) del Camión:
  F_C = M_C · g = 20000 kg · 9.8 m/s² = 196000 N
• 2. Cálculo del Área Total de Contacto:
  A_total = 10 · 800 cm² = 8000 cm².
  A_total = 8000 cm² · (1 m² / 10000 cm²) = 0.8 m²
• 3. Cálculo de la Presión del Camión:
  P_C = F_C / A_total = 196000 N / 0.8 m² = 245000 Pa

Conclusión: La aguja ejerce una presión de 40,000,000 Pa, mientras que el camión ejerce 245,000 Pa. Por lo tanto, la aguja ejerce mayor presión.

Problema 4: Presión hidrostática en una piscina

Una piscina tiene 20 m de radio y una profundidad de 120 cm. Calcule la presión que soporta la base de la piscina cuando está completamente llena.

Resolución

Nota: La presión hidrostática solo depende de la densidad del fluido y la profundidad (altura), no del radio o la forma del recipiente.

• Datos: d_agua = 1000 kg/m³; g = 9.8 m/s²; h = 120 cm = 1.20 m.
• Cálculo de la Presión:
  P = d · g · h = 1000 kg/m³ · 9.8 m/s² · 1.20 m = 11760 Pa

Problema 5: Aplicación del Principio de Pascal (Prensa Hidráulica)

Los émbolos de una prensa hidráulica tienen superficies respectivas de 4 cm² y 2.5 m². Si sobre el émbolo pequeño se ejerce una fuerza de 50 N. ¿Cuál es la fuerza que se obtiene en el émbolo grande?

Resolución

• Datos: F₁ = 50 N; A₁ = 4 cm²; A₂ = 2.5 m².
• 1. Conversión de Área:
  A₁ = 4 cm² = 4 · 10⁻⁴ m²
• 2. Aplicación del Principio de Pascal:
  F₁ / A₁ = F₂ / A₂
  50 N / (4 · 10⁻⁴ m²) = F₂ / 2.5 m²
• 3. Despeje de F₂:
  F₂ = (50 · 2.5) / (4 · 10⁻⁴) = 125 / 0.0004 = 312500 N

Problema 6: Peso aparente y Empuje (Principio de Arquímedes)

Una piedra tiene un volumen de 850 cm³ y pesa 20 N en el aire. ¿Cuál será el peso de la piedra dentro del agua? ¿Cuál será el peso de la piedra dentro de un aceite de densidad 800 kg/m³?

Resolución

• Datos: V = 850 cm³ = 8.5 · 10⁻⁴ m³; P_aire = 20 N.

A. Peso aparente en Agua (d = 1000 kg/m³)

• 1. Cálculo del Empuje (E):
  E_agua = d_agua · g · V = 1000 · 9.8 · (8.5 · 10⁻⁴) ≈ 8.33 N
• 2. Cálculo del Peso Aparente:
  P_agua = P_aire - E_agua = 20 N - 8.33 N = 11.67 N

B. Peso aparente en Aceite (d = 800 kg/m³)

• 1. Cálculo del Empuje (E):
  E_aceite = d_aceite · g · V = 800 · 9.8 · (8.5 · 10⁻⁴) ≈ 6.66 N
• 2. Cálculo del Peso Aparente:
  P_aceite = P_aire - E_aceite = 20 N - 6.66 N = 13.34 N

Problema 7: Determinación de la Densidad de un Objeto

Un objeto pesa 80 N en el aire y 60 N completamente sumergido en el agua. ¿Cuál es la densidad del objeto?

Resolución

• Datos: P_aire = 80 N; P_aparente = 60 N; d_agua = 1000 kg/m³.
• 1. Cálculo del Empuje (E):
  E = P_aire - P_aparente = 80 N - 60 N = 20 N
• 2. Cálculo del Volumen del Cuerpo (V_c) usando el Empuje:
  E = d_agua · g · V_c
  20 N = 1000 kg/m³ · 9.8 m/s² · V_c
  V_c = 20 / (1000 · 9.8) ≈ 0.00204 m³
• 3. Cálculo de la Densidad del Objeto (d_c):
  La masa del objeto es m = P_aire / g = 80 N / 9.8 m/s² ≈ 8.163 kg.
  d_c = m / V_c = 8.163 kg / 0.00204 m³ ≈ 4000 kg/m³ (o 4081.6 kg/m³ si se usa el valor exacto de Vc)