Fundamentos de Geometría Vectorial y Ecuaciones de la Recta

Geometría Vectorial y Ecuaciones de la Recta

1. Concepto de Vector

Un vector es un segmento orientado que se determina por dos puntos, $A$ y $B$, y el orden de estos. El primero de los puntos se llama origen y el segundo se denomina extremo, y se escribe $\vec{AB}$.

Magnitudes Escalares y Vectoriales

Las magnitudes que se expresan con un solo número se llaman magnitudes escalares. Si, además del valor numérico, necesitamos conocer la dirección y el sentido, son magnitudes vectoriales, y sus elementos son vectores.

Elementos de un Vector

• Módulo: Longitud del segmento $\vec{AB}$.
• Dirección: Es la recta sobre la que está situado el vector. Una recta y todas sus paralelas determinan la misma dirección.
• Sentido: Es la forma de recorrer el segmento $\vec{AB}$, es decir, de fijar el origen y el extremo.

Coordenadas y Módulo

Las coordenadas de un vector o componentes se obtienen restando las coordenadas del punto extremo $B(b_1, b_2)$ menos las del punto origen $A(a_1, a_2)$.

Para calcular el módulo de un vector $\vec{v} = (v_1, v_2)$ se utiliza la fórmula:

$$ | v | = \sqrt{(v_1)^2 + (v_2)^2} $$

(Usando la notación original): | v | = √((v₁)²+(v₂)²) .

2. Operaciones con Vectores

• Suma: Para sumar se unen los vectores extremo con origen (método del polígono) o mediante el método del paralelogramo.
• Resta: Para restar se unen los orígenes.
• Multiplicación por un escalar: Para multiplicar (por un número real) se multiplica el módulo por dicho número.

Ecuaciones de la Recta en el Plano

3. Ecuación Vectorial

$$ P = A + t \cdot \vec{v} $$

Donde $P(x, y)$ es un punto genérico de la recta, $A(a, b)$ es un punto conocido, $\vec{v}(v_1, v_2)$ es el vector director y $t$ es un parámetro real.

Forma explícita: $(x, y) = (a, b) + t \cdot (v_1, v_2)$

4. Ecuaciones Paramétricas

Se obtienen al descomponer la ecuación vectorial en sus componentes:

$$ \begin{cases} x = a + t \cdot v_1 \\ y = b + t \cdot v_2 \end{cases} $$

5. Ecuación Continua

Se obtiene al despejar el parámetro $t$ de las ecuaciones paramétricas e igualar. Solo es válida si $v_1$ y $v_2$ son distintos de cero:

6. Ecuaciones Punto-Pendiente y Explícita

Ecuación Punto-Pendiente

$$ y - b = m (x - a) $$

Donde $m$ es la pendiente de la recta, calculada como:

$ m = $

Ecuación Explícita

Se obtiene al despejar $y$ de la ecuación punto-pendiente:

$$ y = m \cdot x + n $$

Donde $n$ es la ordenada en el origen, y se calcula como: $n = b - m \cdot a$.

7. Ecuación General o Implícita

Se obtiene al igualar a cero la ecuación de la recta:

$$ Ax + By + C = 0 $$

Relación entre los coeficientes y el vector director:

8. Posiciones Relativas de Dos Rectas

Dadas dos rectas en el plano, sus posiciones relativas pueden ser:

• Paralelas: Tienen la misma dirección y no poseen puntos comunes.
• Coincidentes: Tienen la misma dirección y todos sus puntos son comunes (son la misma recta).
• Secantes: Si solo tienen un punto en común, que es también llamado punto de corte o intersección.

Criterios de Posición Relativa

Conceptos Fundamentales de Funciones

1. Concepto de Función

Una función es una relación entre dos magnitudes, $X$ (variable independiente) e $Y$ (variable dependiente), de forma que a cada valor $x$ de la primera magnitud le corresponde un único valor $y$ de la segunda. Así, $x$ se denomina variable independiente e $y$ es la variable dependiente.

3. Dominio y Recorrido

• Dominio ($Domf$): Es el conjunto de todos los valores que toma la variable independiente ($x$).
• Recorrido ($Imf$): Es el conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente ($y$).

5. Propiedades de las Funciones

Las propiedades esenciales para describir el comportamiento de una función son:

• Puntos de corte con los ejes: Intersecciones con el eje $X$ (raíces) y el eje $Y$.
• Continuidad y discontinuidad: Una función es continua si se puede dibujar de un solo trazo, sin levantar el lápiz.
• Crecimiento y decrecimiento: Se refiere a los intervalos donde la función es creciente, decreciente o constante.
• Máximo relativo y Mínimo relativo: Son los puntos más altos y más bajos de la función en un entorno local, respectivamente.
• Simetría:
  • Simetría Par (respecto al eje Y): Se cumple si $f(-x) = f(x)$.
  • Simetría Impar (respecto al origen): Se cumple si $f(-x) = -f(x)$.
• Periodicidad: Una función es periódica si su gráfica se repite cada cierto intervalo $T$ (periodo). Se cumple que $f(x) = f(x+T) = f(x+2T) = f(x+3T)$, etc.