Fundamentos de Geometría Vectorial 3D: Cálculo de Intersecciones y Posición Relativa

Cálculo de Intersecciones y Posición Relativa en el Espacio

1. Intersección de Plano ($\pi$) y Recta ($r$)

El documento presenta un sistema de ecuaciones que, por su estructura, corresponde a la intersección de tres planos, cuyo resultado es un punto único.

Sistema de Ecuaciones (Intersección de Planos)

• Plano $\pi_1$: $x + 2y - z = 0$
• Plano $\pi_2$: $3x - y = 5$
• Plano $\pi_3$: $x + y - 4z = -13$

Resolución del Sistema

Se utiliza la matriz ampliada para resolver el sistema (método de Gauss):

| $\pi_1$ | 1  2 -1 |  0 |
| $\pi_2$ | 3 -1  0 |  5 |
| $\pi_3$ | 1  1 -4 | -13|

(El texto original muestra pasos de reducción que llevan a la solución):

1  2  -1   0
0 -1  -3 -13  (Fila resultante de operaciones)
0  0  24  96  (Fila resultante de operaciones)

De la última fila se obtiene:

$24z = 96 \implies z = 4$

Sustituyendo $z=4$ en la segunda ecuación (asumiendo $-y - 3z = -13$):

$-y - 3(4) = -13 \implies -y - 12 = -13 \implies y = 1$

Sustituyendo $y=1$ y $z=4$ en la primera ecuación:

$x + 2(1) - 4 = 0 \implies x = 2$

Punto de Intersección: $P(2, 1, 4)$

2. Cálculo de la Perpendicular Común a Dos Rectas

Se buscan las ecuaciones de la recta perpendicular común a $r$ y $s$.

Definición de las Rectas

• Recta $r$: $\frac{x}{2} = \frac{y-1}{4} = \frac{z+4}{-1}$
  • Punto $P_r(0, 1, -4)$
  • Vector Director $\vec{v}_r(2, 4, -1)$
• Recta $s$: $\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{4}$
  • Punto $P_s(0, 0, 0)$
  • Vector Director $\vec{v}_s(1, 1, 4)$

Vector Director de la Perpendicular Común

El vector director de la perpendicular común es el producto vectorial de los vectores directores de $r$ y $s$ ($\vec{w} = \vec{v}_r \times \vec{v}_s$).

Cálculo del producto vectorial:

| i   j   k  |
| 2   4  -1  |
| 1   1   4  |

$\vec{v}_r \times \vec{v}_s = (16 - (-1), - (8 - (-1)), 2 - 4) = (17, -9, -2)$

Vector Director $\vec{w} = (17, -9, -2)$

Ecuaciones de los Planos Auxiliares

La recta perpendicular común es la intersección de dos planos ($\pi_1$ y $\pi_2$).

Plano $\pi_1$: Contiene a $r$ (punto $P_r$ y vector $\vec{v}_r$) y es paralelo a $\vec{w}$.

Ecuación del plano $\pi_1$ (determinante igualado a cero):

| x   y-1   z+4 |
| 2    4    -1  | = 0
| 17  -9    -2  |

Ecuación General de $\pi_1$: $\mathbf{-17x - 13y - 86z - 331 = 0}$

Plano $\pi_2$: Contiene a $s$ (punto $P_s$ y vector $\vec{v}_s$) y es paralelo a $\vec{w}$.

Ecuación del plano $\pi_2$ (determinante igualado a cero):

| x   y   z |
| 1   1   4 | = 0
| 17 -9  -2 |

Ecuación General de $\pi_2$: $\mathbf{34x + 70y - 26z = 0}$

La recta perpendicular común es la intersección de $\pi_1$ y $\pi_2$.

(Nota: El punto $\mathbf{(-1, 11, 4)}$ es el resultado de la intersección de la perpendicular común con una de las rectas, según el texto original).

3. Posición Relativa de Dos Rectas ($r$ y $s$)

Se determina la posición relativa de dos rectas dadas en forma paramétrica.

Definición de las Rectas en Forma Paramétrica

• Recta $r$:
  • $x = 1 + \lambda$
  • $y = 2 - 2\lambda$
  • $z = 3 + 5\lambda$
  • Punto $P_r(1, 2, 3)$, Vector Director $\vec{v}_r(1, -2, 5)$
• Recta $s$:
  • $x = 5 + \mu$
  • $y = 1 + 2\mu$
  • $z = 1 - \mu$
  • Punto $P_s(5, 1, 1)$, Vector Director $\vec{v}_s(1, 2, -1)$

Determinación de la Posición Relativa

Se utiliza el vector que une los puntos $P_r P_s = (5-1, 1-2, 1-3) = (4, -1, -2)$.

Se comparan los rangos de la matriz de vectores directores ($M$) y la matriz ampliada ($M'$).

Matriz ampliada $M'$:

| 1  -2   5 |
| 1   2  -1 |
| 4  -1  -2 |

El rango de la matriz de vectores directores $M$ es 2 (ya que $\vec{v}_r$ y $\vec{v}_s$ no son proporcionales).

Cálculo del determinante de $M'$:

$\det(M') = 1(2(-2) - (-1)(-1)) - (-2)(1(-2) - 5(4)) + 5(1(-1) - 2(4)) = -94 \neq 0$

Dado que el determinante es distinto de cero, el rango de la matriz ampliada $R(M')$ es 3.

Conclusión: Como $R(M) = 2$ y $R(M') = 3$, las rectas se cruzan en el espacio.

(Nota sobre el texto original: El documento presenta una notación matricial confusa y concluye erróneamente que $R(A)=3$ y $R(A')=4$. La conclusión correcta para los datos proporcionados es que las rectas se cruzan, con rangos 2 y 3).

4. Formas de Ecuaciones de Rectas y Planos

Ecuaciones de Planos

Un plano queda definido por un punto y dos vectores linealmente independientes (L.I).

Forma Vectorial

$\pi: (x, y, z) = (a_1, a_2, a_3) + \lambda(u_1, u_2, u_3) + \mu(v_1, v_2, v_3)$

• $(a_1, a_2, a_3)$: Punto del plano.
• $(u_1, u_2, u_3)$ y $(v_1, v_2, v_3)$: Vectores directores L.I.

Forma Paramétrica

• $x = a_1 + \lambda u_1 + \mu v_1$
• $y = a_2 + \lambda u_2 + \mu v_2$
• $z = a_3 + \lambda u_3 + \mu v_3$

Forma General (Implícita)

Se obtiene a partir del determinante de la matriz que incluye el punto genérico y los vectores directores:

| x-a1  u1  v1 |
| y-a2  u2  v2 | = 0
| z-a3  u3  v3 |

Resultado: $Ax + By + Cz + D = 0$

• El vector Normal $\vec{n}(A, B, C)$ es perpendicular al plano $\pi$.
• Si al sustituir un punto $P$ en la ecuación, el resultado es $0$, el punto pertenece a $\pi$.
• Si el resultado es $\neq 0$, el punto no pertenece a $\pi$.

Ecuaciones de Rectas

Una recta queda definida por un punto y un vector director, o por dos puntos.

Forma Continua

$$\frac{x-a_1}{v_1} = \frac{y-a_2}{v_2} = \frac{z-a_3}{v_3}$$

Forma General (Implícita)

Una recta se define como la intersección de dos planos:

• $Ax + By + Cz + D = 0$
• $A'x + B'y + C'z + D' = 0$