Fundamentos de Geometría Plana: Sistemas Angulares, Triángulos, Polígonos y Circunferencia

Sistema Sexagesimal

Conversión de grados, minutos y segundos.

Conversión de Complejos a Incomplejos (Grados a Minutos/Segundos)

• Minutos (x'): Multiplicar los grados (#°) por 60. Fórmula: x' = #° * (60') / 1°
• Segundos (x"): Multiplicar los minutos (#') por 60. Fórmula: x" = #' * (60") / 1'

Conversión de Incomplejos a Complejos (Segundos/Minutos a Grados)

• Minutos desde Segundos (x'): Dividir los segundos (#") entre 60. Fórmula: x' = #" * (1') / 60"
• Grados desde Minutos (x°): Dividir los minutos (#') entre 60. Fórmula: x° = #' * (1°) / 60'

Sistema Circular

Relación entre grados sexagesimales y radianes.

• Grados a Radianes: Multiplicar los grados (#°) por π y dividir entre 180°. Fórmula: Radianes = #° * (π rad) / 180°
• Radianes a Grados: Multiplicar los radianes (# rad) por 180° y dividir entre π. Fórmula: Grados = # rad * (180°) / π rad

Triángulo

Figura plana limitada por tres segmentos de recta llamados lados, que se intersectan en tres puntos llamados vértices, formando tres ángulos interiores.

Clasificación de Triángulos

Según sus Lados:

• Equilátero: Tiene sus 3 lados iguales (y sus 3 ángulos iguales a 60°).
• Isósceles: Tiene 2 lados iguales y 1 lado distinto. Los ángulos opuestos a los lados iguales también son iguales.
• Escaleno: Tiene todos sus lados y ángulos desiguales.

Según sus Ángulos:

• Rectángulo: Tiene un ángulo interior de 90° (recto).
• Acutángulo: Sus 3 ángulos interiores son agudos (menores de 90°).
• Obtusángulo: Tiene 1 ángulo interior obtuso (mayor de 90°).

Líneas y Puntos Notables del Triángulo

• Alturas: Segmento perpendicular trazado desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación). El punto donde se cruzan las tres alturas se llama Ortocentro.
• Bisectriz: Recta que divide a un ángulo interior en dos ángulos iguales. El punto donde se cruzan las tres bisectrices se llama Incentro (es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo).
• Mediatriz: Recta perpendicular a un lado trazada desde su punto medio. El punto donde se cruzan las tres mediatrices se llama Circuncentro (es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo).
• Mediana: Segmento de recta que va desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto. El punto donde se cruzan las tres medianas se llama Baricentro (es el centro de gravedad del triángulo).

Congruencia de Triángulos

Dos triángulos son congruentes si tienen exactamente la misma forma y tamaño (lados y ángulos iguales).

Criterios de Congruencia:

• LAL (Lado-Ángulo-Lado): Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados iguales y el ángulo comprendido entre ellos también es igual.
• ALA (Ángulo-Lado-Ángulo): Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos iguales y el lado comprendido entre ellos también es igual.
• LLL (Lado-Lado-Lado): Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente iguales.

Semejanza de Triángulos

Dos polígonos (en particular, triángulos) son semejantes si tienen sus ángulos correspondientes iguales y sus lados correspondientes son proporcionales. Tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño. La proporcionalidad entre lados se puede resolver usando la regla de tres, comparando lados correspondientes.

Polígonos

Figura geométrica plana cerrada, limitada por segmentos de recta. Del griego: Poli (muchos) y Gonos (ángulos).

Elementos de un Polígono

• Lados: Segmentos de recta que forman el contorno.
• Vértices: Puntos donde se unen dos lados consecutivos.
• Ángulos interiores: Ángulos formados por dos lados consecutivos en el interior del polígono.
• Ángulos exteriores: Ángulos formados por un lado y la prolongación de un lado consecutivo, en el exterior del polígono.
• Diagonales: Segmentos de recta que unen dos vértices no consecutivos.

Clasificación de Polígonos

Según la Regularidad:

• Regulares: Todos sus lados y todos sus ángulos interiores son iguales.
• Irregulares: Sus lados y/o ángulos interiores no son todos iguales.

Según el Número de Lados:

• 3 lados: Triángulo
• 4 lados: Cuadrilátero
• 5 lados: Pentágono
• 6 lados: Hexágono
• 7 lados: Heptágono
• 8 lados: Octógono
• 9 lados: Nonágono (o Eneágono)
• 10 lados: Decágono
• 11 lados: Endecágono
• 12 lados: Dodecágono
• Más de 12 lados: Se nombran como polígono de "n" lados (ej. polígono de 13 lados) o usando prefijos numéricos + "ágono".

Diagonales de un Polígono

Sea "n" el número de lados del polígono:

• Diagonales desde un vértice (D): D = n - 3
• Diagonales totales (Dt): Dt = n * (n - 3) / 2

Circunferencia y Círculo

• Circunferencia: Línea curva cerrada y plana donde todos sus puntos están a la misma distancia de un punto interior llamado centro (O). Es el perímetro.
• Círculo: Porción del plano delimitada por la circunferencia. Es el área interior.

Elementos de la Circunferencia y el Círculo

• Radio (r): Segmento que une el centro con cualquier punto de la circunferencia. Su longitud es la distancia constante del centro a la circunferencia.
• Arco: Porción continua de la circunferencia delimitada por dos puntos de la misma, llamados extremos del arco.
• Cuerda: Segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia.
• Diámetro (d): Cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. Es la cuerda de mayor longitud y mide el doble que el radio (d=2r). Divide a la circunferencia en dos semicircunferencias (arcos iguales).
• Flecha (o Sagita): Segmento perpendicular a una cuerda, trazado desde el punto medio de la cuerda hasta el arco subtendido por ella.
• Recta Secante: Recta que corta a la circunferencia en dos puntos distintos.
• Recta Tangente: Recta que toca a la circunferencia en un solo punto, llamado punto de tangencia. Es perpendicular al radio en ese punto.
• Recta Exterior: Recta que no tiene ningún punto en común con la circunferencia. La distancia del centro a la recta es mayor que el radio.