Fundamentos de Geometría Plana: Puntos, Rectas, Ángulos y Polígonos

1ª Terma Pitagórica

Para construir esta teoría se debe buscar una suma de dos números al cuadrado que den como resultado otro número, mayor, al cuadrado. Por eso podemos decir que la suma de los dos catetos de un triángulo, elevados al cuadrado, es igual a la hipotenusa elevada al cuadrado: H² = C² + C²

1. Elementos Geométricos Básicos

a) Punto: elemento geométrico fundamental. Se puede llegar a él a través de la intersección de dos rectas.

b) La recta: elemento resultante de la intersección de dos planos. Pueden ser paralelas (ningún punto común), perpendiculares (un punto común) o coincidentes (todos los puntos comunes).

c) El plano: elemento ideal que contiene infinitos puntos y rectas.

d) Semiplano: cada una de las partes en que una recta divide al plano.

e) Semirrecta: cada una de las partes en que un punto divide a una recta.

f) Segmento: conjunto de la recta entre dos puntos (origen y extremo). Dentro de los segmentos podemos encontrar:

• Segmentos concatenados o sucesivos: elementos que van seguidos. El origen de uno coincide con el extremo del anterior.
• Segmentos consecutivos: segmentos sucesivos en línea recta.

2. Ángulos

Un ángulo es una porción del plano delimitado por dos segmentos que se cortan. Para medirlos empleamos los grados. Cuando medimos ángulos estamos midiendo el grado de apertura de los segmentos que lo forman. Hablamos de ángulo recto cuando dos rectas se cortan perpendicularmente, obteniendo así una abertura de 90º. Para saber cuál es la amplitud de un grado debemos dividir esos 90º en 90 partes iguales. Para la medida de ángulos empleamos el sistema sexagesimal, por lo que 1º son 60' y 1' son 60''. El sistema mixto consiste en emplear una parte entera y una decimal. El motivo de emplear este tipo de sistema es debido al uso de la calculadora.

2.2. Tipos de Ángulos

a) Según su medida:

• Cóncavos: aquellos ángulos que contienen a las prolongaciones de sus lados. Son ángulos mayores de 180º.
• Convexos: aquellos que no contienen a las prolongaciones de sus lados. Son ángulos menores de 180º.

b) Según su colocación:

• Consecutivos: aquellos que tienen el mismo vértice y un lado común. Los lados no comunes están situados en semiplanos diferentes.
• Adyacentes: son ángulos consecutivos cuyo lado no común se encuentra en una misma recta. Forman siempre 180º.
• Suplementario: ángulo necesario para que otro forme 180º. Lo que le falta a un ángulo para llegar a 180º.
• Opuestos por el vértice: aquellos que se forman a través de la prolongación de los lados de otro ángulo. Siempre tienen el mismo vértice.

c) Según su abertura: nulo, llano, obtuso, agudo, completo y recto.

d) Según se forman al cortarse dos rectas en el plano:

• Internos: los comprendidos entre las rectas.
• Externos: los que no se encuentran en el interior de las rectas.
• Correspondientes: aquellos situados al mismo lado de la secante, uno externo y uno interno.
• Colaterales: pueden ser internos (aquellos situados al mismo lado de la secante, en el interior de las paralelas) o externos (fuera de las paralelas).

2.3. Otros Conceptos

a) La bisectriz de un ángulo: es una semirrecta que divide al ángulo en dos partes iguales. Cada punto de esta semirrecta dista lo mismo de cada lado del ángulo.

b) Recta secante: aquella recta que corta en dos partes a una figura geométrica.

3. Polígonos

Un polígono es una región del plano limitada por una línea poligonal cerrada. Los polígonos se diferencian en:

• Regulares: cuando tienen todos sus lados y ángulos iguales.
• Irregulares: cuando al menos uno de sus lados o ángulos es diferente.

Una línea poligonal es un conjunto de segmentos concatenados sin que existan dos líneas rectas o segmentos seguidos. Cada segmento lo llamaremos lado y a los extremos los denominaremos vértices. Podemos diferenciar cuatro tipos de líneas poligonales:

• Abiertas: cuando dos de los segmentos que forman la línea poligonal tienen sus vértices libres.
• Cerradas: cuando ningún extremo queda libre.
• Convexa: cuando cualquier recta del plano la corta como mucho, en dos puntos. También se puede describir cuando, prolongando cualquiera de los segmentos de la misma, toda ella queda en uno de los semiplanos que se forman.
• Obtusángulo

3.1. Triángulos

No se pueden construir con cualquier segmento, ya que la propiedad triangular nos dice que la suma de los dos lados más pequeños ha de ser mayor que el lado mayor. Son el único polígono que no se puede deformar.

3.1.1. Tipos de Triángulos

a) Según sus lados:

• Equilátero: todos sus lados son iguales.
• Isósceles: tiene dos lados iguales y uno desigual.
• Escaleno: todos sus lados son diferentes.

b) Según sus ángulos:

• Rectángulo: tiene un ángulo recto.
• Acutángulo: tiene sus ángulos agudos.
• Obtusángulo