Fundamentos de Geometría del Espacio: Rectas, Planos y Poliedros

Primeras propiedades del plano

• Recta contenida: Si una recta tiene más de un punto en común con el plano, está contenida en él.
• Determinación por puntos: Tres puntos no alineados determinan un único plano que los contiene.
• Planos paralelos: Dos planos sin ningún punto en común son paralelos.
• Intersección de planos: Si dos planos distintos se cortan, su intersección es una recta.

Posición relativa de dos rectas en el espacio

• Que se cruzan: Si no existe ningún plano que las contenga.
• Paralelas: Si, estando en el mismo plano, no tienen ningún punto en común o los tienen todos (coincidentes).
• Secantes: Si, estando en el mismo plano, se cortan en un punto.

Posición relativa de recta y plano

• Paralelos: La recta y el plano no tienen ningún punto en común; la recta es paralela al plano.
• Secantes: La recta tiene un punto en común con el plano; la recta corta al plano.
• Incidentes: Cuando más de un punto de la recta está contenido en el plano.

Formas de determinar un plano

1. Tres puntos no alineados: No situados sobre la misma recta. Un solo plano contiene a los tres puntos.
2. Dos rectas paralelas: Determinan un plano; un único plano contiene a las dos rectas.
3. Dos rectas que se cortan: Determinan un plano. Basta considerar el plano que contiene al punto P (intersección de las dos rectas) y a otros dos puntos Q y R que pertenecen a cada una de las rectas.
4. Una recta y un punto exterior a ella.

Preguntas fundamentales sobre rectas y planos

¿Puede estar una recta contenida en un plano?

Sí, si la recta tiene más de un punto en común con el plano.

¿Puede una recta cortar un plano?

Sí, si la recta tiene un punto en común con el plano lo corta, ya que la posición relativa de la recta y el plano es que son secantes.

Ángulos poliedros y diedros

¿Cuántas caras puede tener un ángulo poliedro?

Depende del número de caras que concurran en un vértice. Puede ser tetraedro, pentaedro, hexaedro o heptaedro según tenga 4, 5, 6 o 7 caras. Con 3 caras se forma un ángulo triedro (una esquina); por lo tanto, se necesita un mínimo de 4 caras para un ángulo poliedro general.

¿Cuál es el ángulo complementario de un diedro?

Se llama ángulo diedro a la región del espacio comprendida entre dos semiplanos limitados por la misma recta. El ángulo asociado a un diedro es un ángulo plano formado por dos rectas perpendiculares a la arista del diedro en un mismo punto y trazadas en cada cara del diedro.

Poliedros: Condiciones y clasificación

¿Condiciones para un poliedro recto?

Sus bases deben ser perpendiculares a las aristas laterales.

¿Condiciones para un poliedro regular?

Todas sus caras deben ser polígonos regulares idénticos y en cada uno de sus vértices debe concurrir el mismo número de caras.

Clasificación de poliedros regulares

Solo existen cinco:

• Tetraedro: 4 caras.
• Cubo (Hexaedro): 6 caras.
• Octaedro: 8 caras.
• Dodecaedro: 12 caras.
• Icosaedro: 20 caras.

¿Se puede formar un poliedro regular con 5 pentágonos?

No podemos, porque la suma de los ángulos de las caras que concurren en un vértice tiene que ser menor a 360º. Aplicando la fórmula (n-2) · 180º para un pentágono: (5-2) · 180º = 540º. Cada ángulo interno es 540º / 5 = 108º. Si concurrieran 5 pentágonos, la suma sería 540º, lo cual supera el límite de 360º.

Prismas y Pirámides

• Prisma recto: Caras laterales perpendiculares a las bases.
• Prisma oblicuo: Caras laterales no perpendiculares a las bases.

Demostración de volumen: Pirámide oblicua y recta

Según el Principio de Cavalieri, si al cortar dos o más cuerpos geométricos de igual altura por un plano paralelo cualquiera a sus bases se producen secciones con la misma área, entonces dichos cuerpos tienen el mismo volumen. Por tanto, si una pirámide oblicua y una recta tienen la misma base y altura, sus volúmenes son iguales.

Cuerpos de revolución

Se originan al girar una figura plana sobre un eje:

• Cilindro: Giro de un rectángulo.
• Cono: Giro de un triángulo rectángulo.
• Esfera: Giro de un semicírculo sobre su diámetro.

Volumen de la esfera

Para el volumen de la esfera no sirve directamente el principio de Cavalieri de la misma forma que en prismas. Una esfera se puede descomponer en pirámides iguales cuyos vértices concurren en el centro. La suma de las áreas de todas las bases se aproxima cada vez más al área de la esfera. La altura de cada pirámide se aproxima al radio (R) de la esfera.

Por lo tanto, la suma de los volúmenes de todas las pirámides se acerca al volumen de la esfera:

V_esf = ∑ V_pir
V_esf = 1/3 · A_B1 · h + 1/3 · A_B2 · h...
V_esf = 1/3 · (A_B1 + A_B2 + A_B3...) · h
V_esf = 1/3 · A_esfera · h

Por otra parte, se ha observado que el área de la esfera es A_esf = 4πR². Comparando las expresiones y sustituyendo la altura h por el radio R, se obtiene:

V_esf = 1/3 · 4πR² · R = 4/3πR³