Fundamentos de Geometría Analítica Tridimensional: Rectas, Planos y Superficies

Geometría Analítica en el Espacio (R³)

Conceptos Fundamentales de Rectas

Distancia entre Dos Puntos

La distancia d entre dos puntos P₁(x₁, y₁, z₁) y P₂(x₂, y₂, z₂) en el espacio se calcula como:

d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)² )

Cosenos Directores

Los cosenos directores de una recta dirigida son los cosenos de los ángulos que forma la recta con los ejes coordenados positivos (α, β, γ, respectivamente). Se calculan como:

• cos α = (x₂ - x₁) / d
• cos β = (y₂ - y₁) / d
• cos γ = (z₂ - z₁) / d

Donde d es la distancia entre los dos puntos.

Números Directores

Los números directores de una recta son cualquier conjunto de tres números (a, b, c) proporcionales a sus cosenos directores. Es decir:

a = k * cos α

b = k * cos β

c = k * cos γ

Donde k es una constante de proporcionalidad, y k = ±√(a² + b² + c²).

Propiedades de Rectas Dirigidas

1. Para que dos rectas dirigidas sean perpendiculares, la suma de los productos de sus cosenos directores es 0:

cos α₁ cos α₂ + cos β₁ cos β₂ + cos γ₁ cos γ₂ = 0

Para que dos rectas sean paralelas, es necesario que sus números directores correspondientes sean proporcionales.

Números Directores de una Recta Perpendicular a Otras Dos

Si tenemos dos rectas no paralelas con números directores (a₁, b₁, c₁) y (a₂, b₂, c₂), respectivamente, entonces los números directores (A, B, C) de cualquier recta perpendicular a ambas (L₁ y L₂) se obtienen mediante el producto vectorial de sus vectores directores:

• A = (b₁c₂ - b₂c₁)
• B = (c₁a₂ - c₂a₁)
• C = (a₁b₂ - a₂b₁)

Ecuaciones de la Recta

Ecuaciones Paramétricas

Dado un punto P₁(x₁, y₁, z₁) en la recta y un vector director v = (a, b, c), las ecuaciones paramétricas de la recta son:

• x = x₁ + ta
• y = y₁ + tb
• z = z₁ + tc

Donde t es un parámetro (constante) distinto de cero.

Forma Simétrica

A partir de las ecuaciones paramétricas, si a, b, c ≠ 0, podemos expresar la forma simétrica de la ecuación de una recta:

(x - x₁) / a = (y - y₁) / b = (z - z₁) / c

Planos en el Espacio

Forma General de la Ecuación del Plano

La ecuación general de un plano es:

Ax + By + Cz + D = 0

Donde [A, B, C] son los números directores de su vector normal.

Intersecciones y Trazas del Plano

1. Para obtener la intersección con los ejes coordenados, se debe igualar a cero las variables correspondientes a los otros ejes:

• Para el eje X: hacer y = 0 y z = 0.
• Para el eje Y: hacer x = 0 y z = 0.
• Para el eje Z: hacer x = 0 y y = 0.

Para obtener las trazas (intersecciones con los planos coordenados), se procede de manera similar:

• Traza XY (en el plano z=0): hacer z = 0.
• Traza XZ (en el plano y=0): hacer y = 0.
• Traza YZ (en el plano x=0): hacer x = 0.

Ángulo Formado por Dos Planos

Sean dos planos P₁: Ax + By + Cz + D = 0 y P₂: A'x + B'y + C'z + D' = 0. El coseno del ángulo θ entre ellos se calcula como:

cos θ = |AA' + BB' + CC'| / (√(A² + B² + C²) * √(A'² + B'² + C'²))

Forma Normal de la Ecuación de un Plano

La forma normal de la ecuación de un plano es una representación donde el vector normal es un vector unitario.

Conversión de Ecuación General a Normal

Para pasar de la ecuación general (Ax + By + Cz + D = 0) a la ecuación normal, se calcula el factor de normalización r:

r = ±√(A² + B² + C²)

Luego, se divide la ecuación general por r:

(A/r)x + (B/r)y + (C/r)z + (D/r) = 0

Determinación del Signo del Factor de Normalización 'r'

El signo de r se determina siguiendo estas reglas:

• Si D ≠ 0, entonces r tiene el signo opuesto a D.
• Si D = 0, entonces r tiene el signo de C.
• Si C = 0, entonces r tiene el signo de B.
• Si B = 0, entonces r tiene el signo de A.

Distancia de un Punto a un Plano

La distancia d de un punto P₁(x₁, y₁, z₁) a un plano Ax + By + Cz + D = 0 se calcula como:

d = |Ax₁ + By₁ + Cz₁ + D| / (±√(A² + B² + C²))

Nota: El signo de la raíz en el denominador se determina de la misma manera que el signo de r para la forma normal del plano.

Superficies Cuádricas

Superficie Esférica

Ecuación Ordinaria

La ecuación ordinaria de una superficie esférica con centro C(h, k, l) y radio r es:

(x - h)² + (y - k)² + (z - l)² = r²

Ecuación General

La ecuación general de una superficie esférica es:

x² + y² + z² + Gx + Hy + Iz + K = 0

Sistemas de Coordenadas

Transformación de Coordenadas Rectangulares a Esféricas

Para transformar coordenadas rectangulares (x, y, z) a coordenadas esféricas (ρ, φ, θ):

• Radio ρ: ρ = √(x² + y² + z²) (con ρ ≥ 0)
• Ángulo polar φ: φ = arccos(z / ρ) (con 0 ≤ φ ≤ π)
• Ángulo azimutal θ: θ = arctan(y / x) (con 0 ≤ θ < 2π, ajustando según el cuadrante de (x,y))

Transformación de Coordenadas Esféricas a Rectangulares

Para transformar coordenadas esféricas (ρ, φ, θ) a coordenadas rectangulares (x, y, z):

• x = ρ sen φ cos θ
• y = ρ sen φ sen θ
• z = ρ cos φ