Fundamentos de Geometría Analítica y Funciones Matemáticas

Plano Cartesiano

Definición: El plano cartesiano es un sistema de coordenadas que permite representar puntos y figuras geométricas en un plano.

Ejes

El plano cartesiano tiene dos ejes:

• Eje x (abscisa): horizontal
• Eje y (ordenada): vertical

Cuadrantes

El plano cartesiano se divide en cuatro cuadrantes:

• Cuadrante I: (+, +)
• Cuadrante II: (-, +)
• Cuadrante III: (-, -)
• Cuadrante IV: (+, -)

Gráfica de Funciones

Definición: Una función es una relación entre dos variables que asigna a cada valor de la variable independiente un valor único de la variable dependiente.

Tipos de funciones

• Lineales: y = mx + b
• Cuadráticas: y = ax² + bx + c
• Polinomiales: y = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀

Gráfica: La gráfica de una función es la representación visual de la relación entre las variables.

Perímetro y Área de un Polígono

Perímetro: El perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de sus lados.

Área: El área de un polígono es la medida de la superficie encerrada por sus lados.

Fórmulas

• Perímetro de un rectángulo: P = 2l + 2w
• Área de un rectángulo: A = lw
• Perímetro de un triángulo: P = a + b + c
• Área de un triángulo: A = (base × altura) / 2

Pendiente y Ángulo de Inclinación

Pendiente: La pendiente de una recta es la medida de su inclinación.

• Fórmula: m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)
• Ángulo de inclinación: El ángulo de inclinación de una recta es el ángulo que forma con el eje x.
• Fórmula: tan(θ) = m

Pendiente y Ordenada

• Ecuación de una recta: y = mx + b
• Pendiente: m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)
• Ordenada: b = y - mx

División de un Segmento

Fórmula:

• x = (x₁ + kx₂) / (1 + k)
• y = (y₁ + ky₂) / (1 + k)

Circunferencia con Centro Fuera del Origen

• Ecuación: (x - h)² + (y - k)² = r²
• Centro: (h, k)
• Radio: r

Parábola de Vértice en el Origen

• Ecuación: y² = 4px o x² = 4py
• Vértice: (0, 0)
• Foco: (p, 0) o (0, p)

De Ecuación General a Ecuación Canónica

• Ecuación general: Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0
• Ecuación canónica: (x - h)² / a² + (y - k)² / b² = 1 (elipse) o (x - h)² / a² - (y - k)² / b² = 1 (hipérbola)

Elipse de Centro en el Origen

• Ecuación: x² / a² + y² / b² = 1
• Centro: (0, 0)
• Vértices: (a, 0) y (-a, 0)
• Focos: (c, 0) y (-c, 0) donde c = √(a² - b²)