Fundamentos de Funciones Polinómicas: Teoremas y Factorización

Funciones Polinómicas

Se llama polinomio de variable real x a la expresión de la forma:

P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀

Donde aₙ, aₙ₋₁, ..., a₁, a₀ ∈ ℝ y n ∈ ℕ.

Definición de Función Polinómica

Se llama función polinómica asociada al polinomio P(x) a toda función de la forma:

f: ℝ → ℝ / f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀

• Coeficientes: aₙ, aₙ₋₁, ..., a₁, a₀
• Exponentes: n, n-1, ..., 1, 0

Conceptos Fundamentales

• Grado de la función: Es el mayor exponente que aparece en la variable, tal que el coeficiente correspondiente sea distinto de 0.
• Valor numérico: El valor numérico de una función polinómica f para un valor a es la imagen f(a).
• Raíz de una función: Cuando el valor numérico es 0, decimos que ese número es raíz de la función. Es decir, x = a es raíz de f(x) ⇔ f(a) = 0.

Métodos de División y Teoremas

Regla de Ruffini

Se utiliza para dividir un polinomio por un binomio de la forma x - α. (Si el divisor tiene un coeficiente principal distinto de 1, se debe dividir por dicho número).

Ley del Resto

El resto de una división con divisor x - a es igual al valor numérico del dividendo para x = a.

P(x) = (x - a) · Q(x) + R

Al evaluar en x = a: P(a) = (a - a) · Q(a) + R, por lo tanto, P(a) = R.

Teorema de Descartes

α es raíz de P(x) ⇔ P(x) es divisible por (x - α).

• (⇒) Si α es raíz, entonces P(α) = 0 (por la ley del resto), lo que implica que el resto R = 0.
• (⇐) Si P(x) es divisible por (x - α), entonces R = 0, por lo tanto P(α) = 0.

Lema de Descartes

Si el grado de P(x) ≥ 3 y tiene tres raíces (α, β, γ), entonces P(x) es divisible por el producto (x - α)(x - β)(x - γ).

Descomposición Factorial

Teorema de Descomposición Factorial

Si α₁, α₂, ..., αₙ son raíces de P(x), entonces el polinomio se puede expresar como:

P(x) = aₙ(x - α₁)(x - α₂)...(x - αₙ)

Raíces Evidentes

• Cualquier polinomio cuyo término independiente sea 0 admite la raíz x = 0.
• Si la suma de los coeficientes en lugares pares es opuesta a la suma de los coeficientes impares, admite la raíz x = 1.
• Si la suma de los coeficientes de grado par es igual a la suma de los coeficientes de grado impar, admite la raíz x = -1.