Fundamentos de Funciones Polinómicas y Expresiones Algebraicas Racionales

Introducción a las Funciones Polinómicas

Una función polinómica de una variable es toda aquella función P: ℝ → ℝ de la forma:

P(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + … + a₁x + a₀

Donde:

• n es un número entero no negativo.
• a_n, a_n-1, ..., a₁ y a₀ son números reales.
• a_n es distinto de cero.

Toda función polinómica se define por una expresión algebraica llamada polinomio. El grado de un polinomio P(x) (se suele notar como gr(P(x))) es el mayor exponente al que está elevada su variable. Los coeficientes son los números reales que acompañan las distintas potencias de la variable. El coeficiente del término que define el grado es el coeficiente principal (a_n) y el término independiente (a₀) es el coeficiente de grado cero.

Clasificación y Estado de los Polinomios

• Un polinomio está ordenado si sus términos están dispuestos según sus grados, en orden creciente o decreciente.
• Un polinomio de grado n es completo cuando entre sus términos aparecen todos los exponentes desde n hasta 0.
• Si alguno de los términos falta, el polinomio es incompleto.
• Un polinomio está especializado cuando, para un valor determinado de la variable, se encuentra el valor numérico del polinomio.

Operaciones con Polinomios

Suma y Resta de Polinomios

Para hallar la suma de dos o más polinomios, se suman los términos semejantes, es decir, aquellos términos en los que la variable tiene el mismo exponente. Si los polinomios están desordenados, se los puede ordenar para realizar la operación, ya que esto facilita el reconocimiento de los términos semejantes.

Para restar un polinomio a otro, sumamos el opuesto del sustraendo. Para encontrar el opuesto de un polinomio, solo hay que multiplicarlo por −1, cambiando así los signos de todos sus términos. Una vez realizado esto, procedemos a sumarlos.

Multiplicación de Polinomios

Para multiplicar dos polinomios, aplicamos la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma. Multiplicamos cada término de uno de ellos por todos los términos del otro y luego sumamos los resultados. Es importante observar que el grado del polinomio resultante es la suma de los grados de ambos factores.

Productos Notables

• Binomio al cuadrado: (a + b)² = a² + 2ab + b²
• Binomio al cubo: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
• Producto de binomios conjugados: (a + b)(a − b) = a² − b²

División de Polinomios

La división entre dos polinomios P(x) y Q(x) es posible siempre y cuando Q(x) no sea el polinomio nulo y el grado de P(x) sea mayor o igual que el grado de Q(x).

• División entre monomios: El polinomio cociente tiene un coeficiente igual al cociente de los coeficientes de los monomios y su grado es la diferencia entre los grados del dividendo y el divisor.
• División de un polinomio por un monomio y división entre polinomios.

Regla de Ruffini

En el caso de la división de un polinomio por otro de la forma (x – a), con a ∈ ℝ, se puede utilizar un procedimiento simplificado conocido como Regla de Ruffini.

Teorema del Resto

"El resto de la división entre un polinomio P(x) y un binomio de la forma (x - a) es igual al valor numérico del polinomio cuando x toma el valor 'a', lo cual podemos expresar como P(a)."

Casos de Factoreo y Ecuaciones

Métodos de Factorización

1. Factor común: Una expresión algebraica es factor común cuando aparece repetida en cada uno de los términos. Se procede de manera inversa a la propiedad distributiva: a·b ± a·c = a(b ± c).
2. Factor común en grupos: Se aplica a expresiones sin un factor común global. Debe tener un número par de términos (mínimo cuatro). Se forman grupos de igual cantidad de términos con factores comunes propios hasta que aparezca un factor común global en la nueva expresión.
3. Trinomio cuadrado perfecto: Se asegura que la expresión de tres términos sea equivalente a un binomio al cuadrado. Dos términos deben ser cuadrados perfectos y el tercero el doble producto de sus bases.
4. Diferencia de cuadrados: Toda diferencia de dos cuadrados es igual al producto de la diferencia de las bases por la suma de las mismas: a² − b² = (a + b)(a − b).

Ecuaciones Polinómicas

Para resolver ecuaciones polinómicas, se debe:

• Igualar a cero la expresión.
• Factorizar el polinomio.
• Utilizar la propiedad de nulidad del producto (si a · b = 0, entonces a = 0 ó b = 0).

Expresión Factorizada y Raíces

Todo polinomio de grado n con n raíces reales puede factorizarse como:
P(x) = a_n(x - x₁)(x - x₂)…(x - xₙ), donde a_n es el coeficiente principal y x₁, x₂, ..., xₙ son sus raíces.

Llamamos raíz de un polinomio al valor a tal que P(a) = 0. Por el Teorema del Resto, un polinomio P(x) es divisible por (x − a) si y solo si a es una raíz de P(x).

Conceptos Clave:

• El orden de multiplicidad es la cantidad de veces que una raíz aparece en la expresión factorizada.
• El grado de un polinomio es la suma de los órdenes de multiplicidad de sus raíces.

Teorema de Gauss

"Si el polinomio P(x) de grado n, con coeficientes enteros y término independiente no nulo, admite una raíz racional p/q (fracción irreducible), entonces p es divisor del término independiente y q lo es del coeficiente principal."

Procedimiento:

1. Identificar el término independiente (p) y el coeficiente principal (q).
2. Buscar los divisores de p y q.
3. Armar las posibles raíces racionales p/q.
4. Utilizar el Teorema del Resto para verificar las raíces.

Gráfico Aproximado de Funciones Polinómicas

• El dominio de las funciones polinómicas es el conjunto de los números reales (ℝ).
• Las funciones polinómicas son continuas.

Para determinar el comportamiento respecto al eje X:

• Si el orden de multiplicidad de la raíz es par, la gráfica toca al eje X pero no lo atraviesa (rebota).
• Si el orden de multiplicidad de la raíz es impar, la gráfica atraviesa el eje X.

Expresiones Algebraicas Racionales

Dados dos polinomios P(x) y Q(x), con Q(x) ≠ 0, se denomina expresión algebraica racional a toda forma P(x) / Q(x). Es irreducible si no existen factores comunes entre el numerador y el denominador.

Operaciones con Expresiones Racionales

• Simplificación: Se factorizan numerador y denominador para cancelar factores comunes.
• Multiplicación: El resultado es otra expresión cuyo numerador y denominador son el producto de los elementos originales.
• División: Se multiplica la primera expresión por la recíproca de la segunda.
• Adición y Sustracción: Con igual denominador, se operan los numeradores. Con distinto denominador, se busca el mínimo común múltiplo (MCM) multiplicando los factores comunes y no comunes con su mayor exponente.

Operaciones Combinadas y Ecuaciones Racionales

Para resolver operaciones combinadas: separar en términos, efectuar operaciones internas y simplificar indicando la condición de posibilidad.

Una ecuación racional es de la forma P(x) / Q(x) = 0. Resolverla implica hallar las raíces de P(x) que no anulen a Q(x). Las raíces que anulen al denominador deben ser descartadas.

Inecuaciones

• Una inecuación polinómica es una desigualdad donde al menos una expresión es un polinomio.
• Una inecuación racional es una desigualdad donde al menos una expresión es una función racional (cociente de polinomios).

Resolución de Triángulos Rectángulos

Resolver un triángulo es determinar el valor de sus elementos a partir de información conocida.

• Ángulo de elevación: Ángulo entre la horizontal y la línea de visión hacia un objeto situado por encima.
• Ángulo de depresión: Ángulo entre la horizontal y la línea de visión hacia un objeto situado por debajo.
• Ángulo de inclinación: Término usado cuando la línea de visión se refiere a un objeto físico como una pendiente o colina.

Generalmente, estos ángulos se plantean a nivel del piso, a menos que se especifique lo contrario.