Fundamentos de las Funciones Matemáticas: Definición, Representación y Propiedades Clave

Definición de Función

Una función es una relación entre dos variables. La primera la llamamos variable independiente y la solemos denotar con la letra x. La segunda la llamamos variable dependiente y la denotamos con la letra y. Además, por cada valor de x le corresponde como máximo un único valor de y.

Formas de Expresar una Función

Existen tres maneras principales de expresar o representar una función:

1. Forma de tabla: Consiste en poner los valores de x en una columna de una tabla y los de y en otra.
2. Forma gráfica: Consiste en representar la función en los ejes cartesianos (el eje horizontal es el de las abscisas y el eje vertical es el de las ordenadas). Una gráfica es función si cualquier recta vertical no la corta en más de un punto.
3. Forma analítica: Consiste en expresar la función mediante una fórmula. Hay dos tipos:
   • Forma analítica explícita: Cuando la y está despejada (ejemplo: $y = 2x + 1$).
   • Forma analítica implícita: Cuando la y no está despejada (ejemplo: $2x - y + 1 = 0$).

Dominio e Imagen (Recorrido)

• Dominio: El dominio de una función son todos los valores que puede alcanzar la variable independiente x.
• Imagen o Recorrido: Son todos los valores que alcanza la variable dependiente y.

Monotonía y Extremos

La Monotonía es el estudio del crecimiento y decrecimiento de una función.

• Una función es creciente cuando al aumentar la variable independiente (x), aumenta la variable dependiente (y).
• Una función es decreciente cuando al aumentar la x, disminuye la y.
• Una función es constante cuando al variar la x, la y no varía.

La mayoría de las funciones tienen trozos crecientes, decrecientes y constantes.

Extremos de una Función (Máximos y Mínimos)

Los extremos se clasifican en:

1. Extremos Absolutos:
   • Máximo absoluto: Es el punto que tiene el mayor valor de y en toda la función.
   • Mínimo absoluto: Es el punto que tiene el menor valor de y en toda la función.
2. Extremos Relativos:
   • Máximo relativo: Es el punto que tiene el mayor valor de y en un entorno cercano a él.
   • Mínimo relativo: Es el punto que tiene el menor valor de y en un entorno cercano a él.

Tendencia (Límite)

La Tendencia de una función en un punto es el valor al que se acercan las y cuando las x se acerca a ese punto.

Periodicidad

Una función es periódica cuando los valores de y se repiten en el mismo orden indefinidamente. El intervalo entre una repetición y otra se llama periodo.

Continuidad y Discontinuidades

Una función es continua si se puede representar sin levantar el instrumento de escritura de la superficie. Si una función no es continua, se dice que tiene discontinuidades.

Tipos de Discontinuidades

• Discontinuidad evitable: Se produce cuando falta un punto o este está desplazado.
• Discontinuidad de primera especie y salto finito: Ocurre cuando las tendencias (límites laterales) por un lado y por el otro son reales y distintos. La diferencia en valor absoluto entre las dos tendencias se llama salto.
• Discontinuidad de primera especie y salto infinito: Ocurre cuando alguna de las tendencias laterales es $+\infty$ o $-\infty$.
• Discontinuidad de segunda especie: Son aquellas en las que no existe la tendencia en el punto (el límite lateral).