Fundamentos de Funciones Lineales: Propiedades y Aplicaciones

Enviado por Programa Chuletas y clasificado en Matemáticas

Escrito el 12 de Junio de 2025 en español con un tamaño de 10,68 KB

Características Fundamentales de las Funciones Lineales

Definición y Componentes Clave

Forma general de la ecuación: y = mx + b
**m**: Representa la **pendiente** de la recta.
**b**: Representa el **término independiente** o la ordenada al origen (punto de corte con el eje y).

Propiedades de la Pendiente (m)

Cuanto mayor es el valor absoluto de la **pendiente**, mayor es la inclinación de la recta.
Si la **pendiente** es **positiva** (*m > 0*), la recta se inclina hacia la **derecha** (creciente).
Si la **pendiente** es **negativa** (*m < 0*), la recta se inclina hacia la **izquierda** (decreciente).
Si la **pendiente** es **0** (*m = 0*), la recta es **horizontal** (paralela al eje x).
Si la función es de la forma *x = k* (donde *k* es una constante, y no tiene la variable *y* explícita), la recta es **vertical** (paralela al eje y), y su pendiente es indefinida (infinita).

Propiedades del Término Independiente (b)

Si el **término independiente** (*b*) es **0**, la recta pasa por el **origen** (el punto (0,0)).

Relación entre Rectas

Dos rectas con la misma **pendiente** son **paralelas**.
Si las **pendientes** son **inversas** y de **signo opuesto** (es decir, su producto es -1, *m1 * m2 = -1*), las rectas son **perpendiculares**.

Determinación de la Función Lineal a partir de Puntos

Pasos para Hallar la Ecuación

Hallamos la **pendiente** de la recta (*m*) utilizando dos puntos (*x1, y1*) y (*x2, y2*):
- m = (y2 - y1) / (x2 - x1)
Sustituimos el valor de la **pendiente** (*m*) y las coordenadas de uno de los puntos (*x1, y1*) en la ecuación punto-pendiente:
- y - y1 = m(x - x1)
- Despejando *y* para obtener la forma *y = mx + b*: y = m(x - x1) + y1

Ejemplo de Cálculo

Hallar la función que pasa por los puntos (1,1) y (2,5).

Cálculo de la pendiente: m = (5 - 1) / (2 - 1) = 4 / 1 = 4
Sustitución en la ecuación punto-pendiente (usando el punto (1,1)):
- y - 1 = 4(x - 1)
- y = 4x - 4 + 1
- y = 4x - 3

Ejercicios de Identificación de Características de Funciones Lineales

Indicar las características de las siguientes funciones:

a) -x = 2y / 3 → y = -3x / 2 (m = -3/2)
b) 3x - y = 4 → y = 3x - 4 (m = 3)
c) -2x + y = 6 → y = 2x + 6 (m = 2)
d) x = -4 (Recta vertical)
e) -4 + y = -2x / 6 → y = -x / 3 + 4 (m = -1/3)
f) 3y = 2x → y = 2x / 3 (m = 2/3)
g) 1 - 2x = -y → y = 2x - 1 (m = 2)
h) x = 2 (Recta vertical)
i) y = 3 (Recta horizontal)

<h3>Cuestionario sobre las funciones anteriores:</h3>
    <ol>
        <li>Cita dos parejas de rectas **paralelas**:
            <ul>
                <li>c (<em>y = 2x + 6</em>) con g (<em>y = 2x - 1</em>) (ambas con m=2)</li>
                <li>d (<em>x = -4</em>) con h (<em>x = 2</em>) (ambas son rectas verticales)</li>
                <li>(Las rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente o cuando ambas son verticales).</li>
            </ul>
        </li>
        <li>Señala dos parejas de rectas **perpendiculares**:
            <ul>
                <li>h (<em>x = 2</em>) con i (<em>y = 3</em>) (vertical con horizontal)</li>
                <li>d (<em>x = -4</em>) con i (<em>y = 3</em>) (vertical con horizontal)</li>
                <li>a (<em>y = -3x/2</em>) con f (<em>y = 2x/3</em>) (m_a = -3/2, m_f = 2/3. Son recíprocas negativas, ya que (-3/2) * (2/3) = -1).</li>
                <li>(Las rectas son perpendiculares cuando sus pendientes son recíprocas negativas, o cuando una es horizontal y la otra vertical).</li>
            </ul>
        </li>
        <li>Dos rectas que pasen por el **origen** (0,0):
            <ul>
                <li>b) <em>2x - y = 0</em> &rarr; <em>y = 2x</em> (el término independiente *b* es 0)</li>
                <li>f) <em>3y = 2x</em> &rarr; <em>y = 2x/3</em> (el término independiente *b* es 0)</li>
                <li>(Son aquellas que no tienen término independiente, es decir, donde *b* es 0).</li>
            </ul>
        </li>
        <li>Recta con mayor **pendiente**:
            <ul>
                <li>d (<em>x = -4</em>) y h (<em>x = 2</em>) (Pendiente indefinida/infinita)</li>
            </ul>
        </li>
        <li>Recta con menor **pendiente**:
            <ul>
                <li>i (<em>y = 3</em>) (Pendiente 0)</li>
            </ul>
        </li>
        <li>Si exceptuamos d y h, ¿cuál sería la mayor **pendiente**?
            <ul>
                <li>b (<em>y = 3x - 4</em>, con m=3)</li>
            </ul>
        </li>
        <li>Si exceptuamos i, ¿cuál sería la menor de las **pendientes**?
            <ul>
                <li>e (<em>y = -x/3 + 4</em>, con m=-1/3)</li>
            </ul>
        </li>
        <li>Una recta **paralela al eje x**:
            <ul>
                <li>i (<em>y = 3</em>)</li>
            </ul>
        </li>
        <li>Paralelas al **eje y**:
            <ul>
                <li>h (<em>x = 2</em>), d (<em>x = -4</em>)</li>
            </ul>
        </li>
        <li>Dos rectas que se inclinen a la **derecha** (pendiente positiva):
            <ul>
                <li>b (m=3), c (m=2), f (m=2/3), g (m=2)</li>
            </ul>
        </li>
        <li>Dos rectas que se inclinen a la **izquierda** (pendiente negativa):
            <ul>
                <li>a (m=-3/2), e (m=-1/3)</li>
            </ul>
        </li>
    </ol>

Ejemplos Adicionales y Tablas de Valores

Sistema de Ecuaciones Lineales (Ejemplo de Despeje)

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:

x - 2y = 1

2x + y = 7

Despejando *y* en cada ecuación para obtener su forma explícita:

De la primera ecuación: y = (x - 1) / 2 = x/2 - 1/2
De la segunda ecuación: y = 7 - 2x

(Nota: El documento original solo muestra el despeje de 'y', no la resolución completa del sistema).

<h3>Tablas de Valores para Funciones Lineales</h3>
    <h4>Tabla 1:</h4>
    <p>x: 0, 1, -1</p>
    <p>y: 1, 3, -3</p>
    <h4>Tabla 2:</h4>
    <p>x: 0, 1, -1</p>
    <p>y: -1, 1, -3</p>
    <h4>Tabla 3:</h4>
    <p>x: 3, 2, 4</p>
    <p>y: 1, 3, -1</p>
    <h4>Tabla 4:</h4>
    <p>x: 3, -1, 1</p>
    <p>y: 1, -1, 0</p>
    <h4>Tabla 5:</h4>
    <p>x: 0, 1, 6, -1</p>
    <p>y: -6, -5, 0, -7</p>

<h3>Determinación de la Función Lineal a partir de Puntos (Ejemplos de Cálculo)</h3>
    <h4>Ejemplo 1:</h4>
    <p>Hallar la función que pasa por los puntos (1,1), (0,-3) y (2,5).</p>
    <p>Utilizando los puntos (1,1) y (2,5) para el cálculo:</p>
    <ul>
        <li>Cálculo de la pendiente: <em>m = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (5 - 1) / (2 - 1) = 4 / 1 = 4</em></li>
        <li>Sustitución en la ecuación punto-pendiente (usando el punto (1,1)):
            <ul>
                <li><em>y - 1 = 4(x - 1)</em></li>
                <li><em>y = 4x - 4 + 1</em></li>
                <li><em>y = 4x - 3</em></li>
            </ul>
        </li>
    </ul>
    <h4>Ejemplo 2:</h4>
    <p>Puntos dados: (6,0) y (1,-5)</p>
    <ul>
        <li>Cálculo de la pendiente: <em>m = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (0 - (-5)) / (6 - 1) = 5 / 5 = 1</em></li>
        <li>Sustitución en la ecuación punto-pendiente (usando el punto (6,0)):
            <ul>
                <li><em>y - 0 = 1(x - 6)</em></li>
                <li><em>y = x - 6</em></li>
            </ul>
        </li>
    </ul>
    <h4>Ejemplo 3:</h4>
    <p>Puntos dados: (0,0) y (4,1)</p>
    <ul>
        <li>Cálculo de la pendiente: <em>m = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (1 - 0) / (4 - 0) = 1 / 4</em></li>
        <li>Sustitución en la ecuación punto-pendiente (usando el punto (0,0)):
            <ul>
                <li><em>y - 0 = (1/4)(x - 0)</em></li>
                <li><em>y = x / 4</em></li>
            </ul>
        </li>
    </ul>

Características de Funciones Lineales Específicas

Indica las características de las siguientes funciones:

a) y = 4
- La **pendiente** es **0**.
- Es una recta **horizontal**.
- Está por encima del eje x (corta el eje y en (0,4)).
b) 2x - y = 0 → y = 2x
- Corta el **origen** (0,0).
- Su **pendiente** es **2**.
- Está inclinada hacia la **derecha** (creciente).
c) x = -2
- Es una recta **vertical**.
- Está a la izquierda del eje y (corta el eje x en (-2,0)).
d) 3/4 = x/y → 3y = 4x → y = 4x/3
- La **pendiente** es **positiva** y es **4/3**.
- Se inclina hacia la **derecha** (creciente).
- Pasa por el **origen** (0,0).
e) 5x - 2y = 3 → 2y = 5x - 3 → y = 5x/2 - 3/2
- La **pendiente** es **5/2** y es **positiva**.
- Se inclina a la **derecha** (creciente).
- No pasa por el **origen** (el término independiente es -3/2).

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