Fundamentos de Funciones, Límites y Continuidad: Conceptos Esenciales
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Dominio de funciones
- Polinómicas: Dom f(x) = ℝ.
- Racionales: Dom f(x) = ℝ - {resultado de la ecuación del denominador}.
- Radicales: Inecuación con el radicando ≥ 0. El dominio será el intervalo resultante.
Representación gráfica de funciones cuadráticas
Para representar una función cuadrática, seguimos estos pasos:
- Hallar el vértice (V): Calculamos primero Vx = -b/2a. Luego, sustituimos este valor en la función para obtener Vy.
- Puntos de corte: Hallamos el punto de corte con el eje X (haciendo y=0) y el punto de corte con el eje Y (haciendo x=0).
Operaciones con funciones
- Funciones inversas: Intercambiamos las variables X e Y y despejamos la incógnita Y.
- Composición de funciones (F ∘ G): Sustituimos la función G en cada valor de la variable x de la función F.
Límite de una función en un punto
- K/0: El resultado es infinito. Calculamos los límites laterales; si coinciden, el límite existe; de lo contrario, no existe.
- 0/K: El resultado es 0.
Indeterminaciones
- Infinito / Infinito: Resolvemos según el grado del numerador y denominador.
- Infinito - Infinito: Multiplicamos por el conjugado y sustituimos por infinito.
- 0/0: Factorizamos el numerador y el denominador.
- 1 elevado a infinito: Aplicamos la fórmula del número e: elim(f(x)-1)·g(x).
Asíntotas
- Asíntota Vertical (A.V.): Ocurre cuando el denominador es 0. Para determinar la tendencia (hacia arriba o abajo), calculamos los límites laterales.
- Asíntota Horizontal (A.H.): Se presenta cuando el grado del numerador es menor o igual al del denominador. Calculamos los límites en +∞ y -∞.
- Asíntota Oblicua (A.O.): Se presenta cuando el grado del numerador es exactamente uno mayor que el del denominador. La recta es y = mx + n, donde m = lim(f(x)/x) y n = lim(f(x) - mx).
Continuidad y parámetros
- Hallar el valor K: Para que la función sea continua, igualamos los límites laterales en el punto de ruptura y despejamos K.
- Hallar los valores A y B: Estudiamos la continuidad en los puntos de ruptura creando un sistema de ecuaciones con los límites laterales para despejar las incógnitas.