Fundamentos Estadísticos: Modelos de Series Temporales y Medidas de Dispersión

Descomposición Clásica de Series Temporales

En la modelización clásica de series temporales se considera que toda serie temporal puede descomponerse en cuatro componentes fundamentales. A continuación, se define cada una de ellas:

1. Tendencia (T_ik)

   Es el movimiento a largo plazo de la serie, que puede ser de crecimiento, decrecimiento o estancamiento. Su identificación requiere un número suficientemente grande de observaciones.

2. Ciclo (C_ik)

   Son movimientos producidos con un período superior al año. Generalmente, se deben a la alternancia de etapas de prosperidad y de depresión en la actividad económica.

   Nota: A veces se trata conjuntamente el ciclo con la tendencia, denominándose Componente Tendencia-Ciclo o Componente Extraestacional.

3. Componente Estacional (e_ik)

   Son oscilaciones que se producen en un período inferior al año. Siguen patrones regulares y se deben a factores climatológicos, de tradición o culturales.

4. Componente Irregular o Residual (I_ik)

   Son movimientos de muy corto plazo (c/p), sin un carácter periódico reconocible, ocasionados por fenómenos singulares o fortuitos que producen efectos casuales y transitorios, como el efecto causado por una huelga, una guerra o un terremoto.

Modelos de Series Temporales

La relación entre los componentes puede ser aditiva o multiplicativa:

• Modelo Aditivo: $y_{ik} = T_{ik} + e_{ik} + C_{ik} + I_{ik}$
• Modelo Multiplicativo: $y_{ik} = T_{ik} \cdot e_{ik} \cdot C_{ik} \cdot I_{ik}$

Probabilidad Axiomática de Kolmogorov (1933)

La probabilidad axiomática, formulada por Andréi Kolmogorov en 1933, es una función $P$ que asigna a cada suceso del espacio muestral $E$ un número real en el intervalo $[0,1]$, y que debe cumplir los siguientes tres axiomas fundamentales:

1. No Negatividad: La probabilidad de cualquier suceso es mayor o igual a cero.
2. Certeza: La probabilidad del espacio muestral total es igual a uno.
3. Aditividad: La probabilidad de la unión de sucesos mutuamente excluyentes es la suma de sus probabilidades individuales.

Clasificación e Interpretación de las Medidas de Dispersión

Las medidas de dispersión cuantifican la variabilidad de los datos en una distribución. Se clasifican en absolutas y relativas:

Medidas de Dispersión Absolutas

Estas medidas se expresan en las mismas unidades que la variable (o en unidades al cuadrado) y no permiten la comparación directa entre distribuciones con medias muy diferentes.

• Rango o Recorrido

  Es la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo de la variable. Toma valores positivos y, cuanto mayor es su valor, mayor es la dispersión o variabilidad.

• Recorrido Intercuartílico

  Es la diferencia entre el cuartil tercero ($Q_3$) y el cuartil primero ($Q_1$). Toma valores positivos y, cuanto mayor es su valor, mayor es la dispersión en el 50% central de la distribución.

• Varianza ($s^2$)

  Es la media aritmética de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable con respecto a su media. Toma valores positivos y viene expresada en unidades de medida al cuadrado. Cuanto mayor es la varianza, mayor es la dispersión y menos representativa es la media aritmética.

• Desviación Típica ($s$)

  Es la raíz cuadrada positiva de la varianza. Se expresa en las mismas unidades que la variable original, facilitando su interpretación.

Medidas de Dispersión Relativas

Estas medidas son adimensionales y permiten comparar la variabilidad entre distribuciones diferentes.

• Coeficiente de Apertura o Disparidad

  Es el cociente entre el valor máximo de la variable y el valor mínimo de la distribución. Permite comparar la variabilidad entre distribuciones. Cuanto mayor es su valor, mayor es la variabilidad.

• Coeficiente de Variación de Pearson ($CV$)

  Es el cociente entre la desviación típica y la media aritmética en valor absoluto ($CV = s / |\bar{x}|$). Permite comparar la variabilidad entre distribuciones. Cuanto mayor es su valor, mayor es la variabilidad relativa de los datos.