Fundamentos de Estadística: Escalas de Medida, Errores y Probabilidad

Escalas o Niveles de Medida de las Variables Estadísticas

Nivel Nominal

Es una variable nominal cuyos valores solo sirven para identificar, distinguir o clasificar los elementos de la población o de la muestra, y no proporcionan ninguna otra información. Puede ser cualitativa o cuantitativa (números arbitrarios).

• Ejemplo: Nacionalidad.

Nivel Ordinal

Además de permitir identificar, distinguir o clasificar los elementos de la población o de la muestra, también proporciona un criterio objetivo para ordenarlos.

• Ejemplo (Variable Ordinal Cualitativa): Clase social.
• Ejemplo (Variable Ordinal Cuantitativa): Altura (menos altura = 1, más altura = 2).

Nivel de Intervalos

Además de permitir identificar, distinguir, clasificar y ordenar los elementos, da significado a las diferencias entre sus valores.

• Ejemplo: Una serie de vasos de agua a diferente temperatura, con la misma diferencia entre diferentes vasos (ej. la escala Celsius).

Nivel de Razón (o Razones)

Identifica, distingue o clasifica, ordena, da significado a las diferencias, y además, da significado a los cocientes (existe un cero absoluto).

• Ejemplo: La temperatura medida en grados absolutos (Kelvin).

Conceptos Fundamentales en Contraste de Hipótesis

Error de Tipo I ($\alpha$)

Error que se comete cuando se rechaza una hipótesis nula ($H_0$) que es verdadera (o se acepta una hipótesis alternativa ($H_a$) que es falsa).

Error de Tipo II ($\beta$)

Error que se comete cuando se acepta una hipótesis nula ($H_0$) que es falsa (o se rechaza una hipótesis alternativa ($H_a$) que es verdadera). La probabilidad de cometer un Error de Tipo II se denomina $\beta$.

Error de Estimación

Es el valor absoluto de la diferencia entre una estimación particular y el valor real del parámetro.

Error Típico (Error Estándar)

Es la desviación típica de una distribución muestral, y se interpreta como cualquier desviación típica.

Nivel de Significancia ($\alpha$)

Es la probabilidad de cometer un Error de Tipo I. Es elegido libremente por el investigador, siendo sus valores más frecuentes $\alpha = 0,05$ o $\alpha = 0,01$.

Nivel de Confianza ($1-\alpha$)

Es la probabilidad de aceptar una hipótesis nula verdadera. Los valores más frecuentes son $1-\alpha = 0,95$ o $0,99$.

Potencia del Contraste ($1-\beta$)

Es la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando esta es falsa (es decir, aceptar la hipótesis alternativa cuando es verdadera). Un contraste de baja potencia es inaceptable porque expone a cometer con alta probabilidad un Error de Tipo II. Resultan aceptables valores donde $1-\beta \geq 0,80$ (o $\beta < 0,20$).

Definiciones de Probabilidad

Definición Axiomática de Probabilidad

Si realizamos un determinado experimento que tiene un espacio muestral $E$, definimos la probabilidad como una función que asocia a cada suceso una determinada probabilidad, que cumple los siguientes axiomas:

1. La probabilidad de cualquier suceso es positiva o cero ($P(A) \geq 0$).
2. La probabilidad del suceso seguro es uno ($P(E) = 1$).
3. La probabilidad de la unión de un conjunto cualquiera de sucesos incompatibles dos a dos es la suma de las probabilidades de los sucesos.

Definición Estadística de Probabilidad (o Frecuentista)

La probabilidad de un suceso es el límite en torno al cual tiende a estabilizarse su frecuencia relativa cuando el experimento se repite un número muy elevado de veces.

Nota: Esta definición carece de rigor puesto que el límite de la frecuencia relativa no es calculable al no existir una relación funcional entre el numerador ($N_A$) y el denominador ($N$) en la fracción $N_A/N$.