Fundamentos de Estadística Descriptiva: Cálculo y Propiedades de las Medidas de Posición Central

Medidas de Posición en una Distribución de Frecuencias

Introducción a la Estadística Descriptiva

El objeto de la Estadística Descriptiva es el estudio de colectivos numerosos. Se describen y analizan caracteres de uno o de diferentes colectivos y las relaciones existentes entre ellos.

Conceptos Fundamentales

• Si el carácter estudiado se puede valorar mediante una medida, la llamamos variable, una indeterminada que toma como valores los posibles resultados.
• Si no es susceptible de medida, la indeterminada se llamará atributo y tomará como valores las distintas modalidades del carácter.
• Cuando el colectivo es excesivamente numeroso, suele tomarse una parte del mismo, representativa de toda la población, llamada muestra.

Los resultados numéricos de las observaciones realizadas en un colectivo constituyen lo que se llama una serie estadística.

Distribuciones de Frecuencias

Las distribuciones de frecuencias tratan de observar, clasificar y ordenar las repeticiones de ciertos valores de una variable.

Tipos de Frecuencias

• Frecuencia Absoluta ($f_i$): Es el número de veces que se repite un valor de una variable o una modalidad de un atributo.
• Frecuencia Relativa ($h_i$): Es la razón entre la frecuencia absoluta y el total de elementos.
• Frecuencia Acumulada ($F_i$ o $H_i$): Es la suma de frecuencias (absolutas o relativas) hasta un determinado valor de la variable.

Medidas de Posición

Dentro de la tabla estadística, la medida de posición es un valor que representa a toda la distribución de frecuencias. Estas medidas podrán ser promedios o no, así como de tendencia central o no.

Medidas de Tendencia Central

La Media Aritmética ($\bar{x}$)

La media aritmética es el promedio y se define como la suma de todos los valores de la distribución dividida por el número total de datos.

Media Aritmética Ponderada

Se utiliza cuando los valores de la variable tienen diferente importancia dentro del conjunto de la distribución.

Propiedades de la Media Aritmética

• La media aritmética es el “centro de gravedad” de la distribución: La suma de las desviaciones de los valores respecto a ella es igual a cero.
• Si se multiplican (o se dividen) todos los valores de la variable por una constante, la media queda multiplicada (o dividida) por esta constante.
• Si a todos los valores de una variable se les suma (o resta) una constante, la media aritmética queda aumentada (o disminuida) en esa constante.
• La media de la suma de dos o más variables es igual a la suma de las medias aritméticas de cada una de las variables.

Ventajas e Inconvenientes de la Media Aritmética

• Ventajas: Considera todos los valores de la distribución, es calculable y única.
• Inconveniente: La existencia de distribuciones con valores extremos muy elevados puede llevar a una distorsión en la interpretación de los resultados.

Otras Medias

• Media Armónica ($H$): Es la inversa de la media aritmética de los inversos de los valores de la variable.
• Media Cuadrática ($Q$): Se denomina a la raíz cuadrada de la media aritmética de los cuadrados de los valores de la variable.

Mediana y Moda

• La Mediana ($M_e$): Es el valor que ocupa el lugar central de la distribución, cuando los valores de la variable están ordenados en sentido creciente o decreciente.
• La Moda ($M_o$): Es el valor de la variable que más veces se repite; es el valor de la variable que viene afectado por la máxima frecuencia de la distribución.

Medidas de Posición No Centrales (Cuantiles)

Los cuartiles, deciles y percentiles son medidas de posición no centrales. Son valores que dividen a la distribución en partes iguales.