Fundamentos de Estadística: Conceptos Clave y Medidas Esenciales

Introducción a la Ciencia y la Estadística

Ciencia

La ciencia combina el método empírico (basado en la observación de la realidad) con el método hipotético-deductivo (basado en la lógica y la formulación de hipótesis).

Estadística

La estadística se encarga de analizar datos muestrales para realizar inferencias sobre una población.

• Estadística Descriptiva: Se enfoca en describir y resumir las características de una muestra.
• Estadística Inferencial: Permite generalizar los hallazgos de una muestra a la población de la que fue extraída.

La probabilidad actúa como el puente que conecta la muestra con la población.

Conceptos Fundamentales en Estadística

Población y Muestra

• La población es el conjunto total de elementos o individuos de interés en un estudio.
• La muestra es un subconjunto representativo de la población.

Parámetro y Estadístico

• Un parámetro es una medida o valor que describe una característica de la población.
• Un estadístico es una medida o valor que describe una característica de la muestra.

Tipos de Variables

• Variables Cualitativas: Representan categorías o atributos (ej., sexo, color).
• Variables Cuantitativas: Representan valores numéricos.
  • Discretas: Toman valores finitos o contables (ej., número de hijos).
  • Continuas: Pueden tomar un número infinito de valores intermedios dentro de un rango (ej., peso, altura).
• Variables Cuasi-cuantitativas: Son variables cualitativas que poseen un orden inherente (ej., fases de la vida, nivel de satisfacción).

Escalas de Medida

• Nominal: Clasifica sin establecer un orden (ej., sexo, estado civil).
• Ordinal: Clasifica y establece un orden, pero sin distancias iguales entre categorías (ej., nivel educativo, grado de acuerdo).
• De Intervalo: Posee orden y distancias iguales entre valores, pero el cero es arbitrario (no absoluto) (ej., temperatura en °C o °F).
• De Razón: Posee orden, distancias iguales y un cero absoluto (significa ausencia de la característica) (ej., peso, altura, ingresos).

Tipos de Frecuencias

• Frecuencia Absoluta (fi): Es el número de veces que se repite un valor o categoría.
• Frecuencia Relativa (fri): Es la proporción de veces que se repite un valor o categoría (frecuencia absoluta / total de datos).
• Frecuencia Acumulada (Fi): Es la suma de las frecuencias (absolutas o relativas) hasta un determinado valor.

Representaciones Gráficas

• Para variables cualitativas: Diagramas de barras, diagramas de sectores (o circulares).
• Para variables cuantitativas: Diagramas de barras (para discretas), diagramas de escalera (para frecuencias acumuladas), histogramas, polígonos de frecuencia.

Medidas de Tendencia Central

• La Media Aritmética: Es el promedio de todos los valores. Es sensible a los valores extremos (outliers).
• La Mediana: Es el valor central de un conjunto de datos ordenados. No se ve afectada por valores extremos.
• La Moda: Es el valor o categoría que aparece con mayor frecuencia. Puede haber una o varias modas (bimodal, trimodal, etc.).

Medidas de Variabilidad o Dispersión

• Varianza (s²) y Desviación Típica (s): Indican la dispersión de los datos alrededor de la media. La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.
• Coeficiente de Variación (CV): Permite comparar la dispersión de distribuciones con diferentes unidades o medias.
• Rango: Es la diferencia entre el valor máximo y mínimo de un conjunto de datos.
• Rango Intercuartílico (RIQ): Es la diferencia entre el tercer cuartil (Q3) y el primer cuartil (Q1) (Q3 - Q1). Representa la dispersión del 50% central de los datos.

Forma de la Distribución: Asimetría (Sesgo)

• Asimetría Positiva (Sesgo a la derecha): La cola de la distribución se extiende hacia valores altos. Generalmente, Media > Mediana > Moda.
• Asimetría Negativa (Sesgo a la izquierda): La cola de la distribución se extiende hacia valores bajos. Generalmente, Media < Mediana < Moda.
• Distribución Simétrica: Los datos se distribuyen de manera uniforme alrededor del centro. Media = Mediana = Moda.

Forma de la Distribución: Curtosis (Apuntamiento)

La curtosis describe el grado de apuntamiento o achatamiento de una distribución en comparación con una distribución normal (mesocúrtica).

• Leptocúrtica: La distribución es más alta y estrecha que la normal, con colas más pesadas.
• Mesocúrtica: La distribución tiene un apuntamiento similar al de una distribución normal.
• Platicúrtica: La distribución es más baja y ancha que la normal, con colas más ligeras.

Consideraciones Adicionales y Aplicaciones

Consideraciones sobre la Media

• Solo es apropiada para variables cuantitativas.
• No es una medida representativa de la tendencia central si la distribución presenta valores extremos (outliers).

Consideraciones sobre la Mediana

• Puede utilizarse con variables ordinales y cuantitativas.
• Es una medida robusta, ya que no se ve afectada por la presencia de valores extremos.

Consideraciones sobre la Moda

• Una distribución puede tener más de una moda (ej., bimodal, trimodal).
• Es la única medida de tendencia central que puede aplicarse a variables cualitativas, además de ordinales y cuantitativas.

Relación entre Media, Mediana y Moda (Indicador de Asimetría)

• Si Media > Mediana > Moda: Indica asimetría positiva (cola a la derecha).
• Si Media < Mediana < Moda: Indica asimetría negativa (cola a la izquierda).
• Si Media = Mediana = Moda: Indica una distribución simétrica.

Interpretación del Coeficiente de Variación (CV)

• Un CV = 0 indica la máxima representatividad de la media (no hay dispersión).
• Un CV ≤ 0.3 (o 30%) se considera un indicador de representatividad óptima de la media.

Interpretación del Coeficiente de Curtosis (a4)

• Si a4 = 0: La distribución es mesocúrtica (similar a la normal).
• Si a4 > 0: La distribución es leptocúrtica (más picuda o apuntada).
• Si a4 < 0: La distribución es platicúrtica (más achatada o plana).

Uso Específico de Gráficos

• Diagramas de Sectores: Ideales para representar la distribución de variables cualitativas.
• Histogramas: Adecuados para variables cuantitativas agrupadas en intervalos.
• Diagramas de Escalera: Se utilizan para visualizar frecuencias acumuladas.

Propiedades de las Variables

• Las variables cuantitativas permiten la realización de operaciones matemáticas (suma, promedio, etc.).
• Las variables cualitativas solo permiten clasificar (escala nominal) o clasificar con un orden (escala ordinal).

Agrupamiento de Datos en Intervalos

• Cuando se trabaja con un gran número de valores distintos en una variable cuantitativa, es común agruparlos en intervalos de igual amplitud para facilitar su análisis y representación.
• Cada intervalo se representa por su marca de clase, que es el punto medio del intervalo.

Media vs. Mediana: Criterios de Elección

• Si la distribución es simétrica, la media, mediana y moda tienden a ser iguales.
• Si la distribución presenta valores extremos o es asimétrica, la mediana es una medida de tendencia central más robusta y representativa que la media.

Clarificación de Asimetría

• En una distribución con asimetría positiva (o a la derecha), la "cola" de la distribución se extiende hacia los valores más altos, indicando la presencia de puntuaciones muy elevadas.
• En una distribución con asimetría negativa (o a la izquierda), la "cola" se extiende hacia los valores más bajos, indicando la presencia de puntuaciones muy bajas.

Clarificación de Curtosis

La curtosis, también conocida como apuntamiento, es una medida que describe la forma de la distribución en relación con su "pico" y sus "colas", comparándola con la curva normal (gaussiana).

• Una distribución muy apuntada se denomina leptocúrtica.
• Una distribución muy plana se denomina platicúrtica.

Cálculo del Ángulo en Diagramas de Sectores

Para construir un diagrama de sectores, el ángulo de cada sector se calcula multiplicando su frecuencia relativa por 360 grados:

Ángulo del Sector = Frecuencia Relativa × 360°

Aplicabilidad de la Frecuencia Acumulada

La frecuencia acumulada solo tiene sentido y es interpretable para variables que poseen un orden, es decir, variables ordinales y cuantitativas.