Fundamentos Esenciales de Vectores, Rectas y Planos en Geometría Analítica

Conceptos Fundamentales de Vectores

Definiciones y Operaciones Básicas

Combinación Lineal

Un vector W es una combinación lineal de los vectores u₁, u₂, u₃ si puede expresarse como:

W = λ₁u₁ + λ₂u₂ + λ₃u₃

donde λ₁, λ₂, λ₃ son escalares.

Versor Asociado (Vector Unitario)

El versor asociado a un vector U (también conocido como vector unitario) se obtiene dividiendo el vector por su módulo:

U₀ = U / ||U||

Punto Medio de un Segmento

El punto medio de un segmento definido por los puntos P₁=(x₁, y₁) y P₂=(x₂, y₂) se calcula como:

P_medio = ((x₁ + x₂) / 2 , (y₁ + y₂) / 2)

Versores Canónicos (Vectores Base)

Los versores canónicos en un sistema de coordenadas cartesianas tridimensional son:

• i = (1, 0, 0)
• j = (0, 1, 0)
• k = (0, 0, 1)

Expresión Canónica de un Vector

Un vector U con componentes (u₁, u₂, u₃) puede expresarse en su forma canónica como:

U = u₁i + u₂j + u₃k

Módulo (Magnitud) de un Vector

El módulo o magnitud de un vector U = (u₁, u₂, u₃) se calcula mediante la siguiente fórmula:

||U|| = √(u₁² + u₂² + u₃²)

Producto Escalar y Ángulo entre Vectores

Producto Escalar (Producto Punto)

El producto escalar (o producto punto) entre dos vectores U y V se define como:

U ⋅ V = ||U|| ⋅ ||V|| ⋅ cos(θ)

donde θ es el ángulo entre los vectores U y V.

Ángulo entre Vectores

El ángulo θ entre dos vectores U y V se puede determinar a partir de su producto escalar:

θ = arccos((U ⋅ V) / (||U|| ⋅ ||V||))

Vectores Perpendiculares (Ortogonales)

Dos vectores U y V son perpendiculares (u ortogonales) si su producto escalar es cero:

U ⊥ V ⇔ U ⋅ V = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃ = 0

Esto implica que el ángulo entre ellos es 90°.

Vectores Paralelos

Dos vectores U y V son paralelos si existe un escalar λ tal que:

U = λV

Alternativamente, si no tienen componentes nulas, sus componentes son proporcionales:

u₁/v₁ = u₂/v₂ = u₃/v₃

Esto implica que el ángulo entre ellos es 0° o 180°.

Proyecciones Vectoriales

Proyección Escalar de U sobre V

La proyección escalar de un vector U sobre un vector V se calcula como:

P_esc = proy_VU = (U ⋅ V) / ||V||

Proyección Vectorial de U sobre V

La proyección vectorial de U sobre V es un vector en la dirección de V:

P_vec = ((U ⋅ V) / ||V||²) ⋅ V

Módulo de la Proyección Vectorial

El módulo de la proyección vectorial es el valor absoluto de la proyección escalar:

||P_vec|| = |proy_VU|

Componente Vectorial Ortogonal

La componente vectorial de U ortogonal a la dirección de V (denotada como Q) es el vector resultante de restar la proyección vectorial de U sobre V al vector U.

Q = comp_ortgVU

Se cumple que:

U = P_vec + Q

Por lo tanto:

Q = U - P_vec

Ángulos y Cosenos Directores

Ángulos Directores

Los ángulos directores de un vector U son los ángulos que forma el vector con los ejes positivos del sistema de coordenadas:

• α₁ = ángulo entre U y el eje x (o versor i)
• α₂ = ángulo entre U y el eje y (o versor j)
• α₃ = ángulo entre U y el eje z (o versor k)

Cosenos Directores

Los cosenos directores son los cosenos de los ángulos directores:

• cos α₁ = u₁ / ||U||
• cos α₂ = u₂ / ||U||
• cos α₃ = u₃ / ||U||

Relación con el Versor Asociado

Los cosenos directores son las componentes del versor asociado U₀:

U₀ = (u₁/||U|| , u₂/||U|| , u₃/||U||)

o

U₀ = (cos α₁, cos α₂, cos α₃)

Relación Pitagórica de los Cosenos Directores

La suma de los cuadrados de los cosenos directores es siempre igual a 1:

cos² α₁ + cos² α₂ + cos² α₃ = 1

Producto Vectorial (Producto Cruz)

Definición y Módulo

El producto vectorial (o producto cruz) de dos vectores U y V, denotado U × V, es un vector perpendicular al plano formado por U y V. Su módulo se calcula como:

||U × V|| = ||U|| ⋅ ||V|| ⋅ sen(θ)

donde θ es el ángulo entre U y V.

Cálculo del Producto Vectorial

Para calcular el producto vectorial U × V, donde U = (u₁, u₂, u₃) y V = (v₁, v₂, v₃), se utiliza la siguiente fórmula (determinante):

U × V = (u₂v₃ - u₃v₂)i - (u₁v₃ - u₃v₁)j + (u₁v₂ - u₂v₁)k

O en forma de componentes:

U × V = ((u₂v₃ - u₃v₂), -(u₁v₃ - u₃v₁), (u₁v₂ - u₂v₁))

Es importante recordar que la segunda componente lleva un signo negativo en la expansión del determinante.

Producto Mixto (Producto Triple Escalar)

Definición

El producto mixto de tres vectores U, V y W se define como el producto escalar de un vector con el producto vectorial de los otros dos:

U ⋅ (V × W)

Geométricamente, su valor absoluto representa el volumen del paralelepípedo formado por los tres vectores.

Condición de Coplanaridad

Tres vectores U, V y W son coplanares (es decir, se encuentran en el mismo plano) si su producto mixto es cero:

U ⋅ (V × W) = 0

Rectas en el Plano (R²)

Ecuaciones de la Recta en R²

Ecuación Paramétrica Vectorial

La ecuación paramétrica vectorial de una recta que pasa por un punto P₀=(x₀, y₀) y es paralela a un vector director U=(u₁, u₂) es:

(x, y) = (x₀, y₀) + λ(u₁, u₂)

donde λ es un parámetro escalar.

Ecuaciones Paramétricas Cartesianas

Desglosando la ecuación paramétrica vectorial, obtenemos las ecuaciones paramétricas cartesianas:

x = x₀ + λu₁
y = y₀ + λu₂

Ecuación Simétrica (Continua)

Despejando λ de las ecuaciones paramétricas cartesianas e igualando, se obtiene la ecuación simétrica (o continua):

(x - x₀) / u₁ = (y - y₀) / u₂

Esta forma es válida si u₁ ≠ 0 y u₂ ≠ 0.

Ecuación General Implícita Cartesiana

La ecuación general implícita cartesiana de una recta es:

ax + by + c = 0

donde N=(a, b) es un vector normal (perpendicular) a la recta, y P₀=(x₀, y₀) es un punto de la recta.

Para obtenerla desde la forma simétrica, se despeja y se agrupan términos. El vector normal N=(a,b) es perpendicular al vector director U=(u₁, u₂), es decir, a = u₂ y b = -u₁ (o viceversa).

Ecuación Segmentaria (Canónica)

La ecuación segmentaria (o canónica) de una recta se utiliza cuando la recta no pasa por el origen y corta ambos ejes:

x/p + y/q = 1

donde p es la abscisa al origen (punto de corte con el eje x, P_x=(p, 0)) y q es la ordenada al origen (punto de corte con el eje y, P_y=(0, q)).

A partir de la ecuación general ax + by + c = 0, se tiene:

• p = -c/a (si a ≠ 0)
• q = -c/b (si b ≠ 0)

Ecuación Explícita (Pendiente-Ordenada al Origen)

La ecuación explícita de una recta es:

y = mx + h

donde m es la pendiente de la recta y h es la ordenada al origen (el valor de y cuando x=0).

A partir de la ecuación general ax + by + c = 0, se tiene:

• m = -a/b (si b ≠ 0)
• h = -c/b (si b ≠ 0)

La pendiente m también se relaciona con el ángulo α que forma la recta con el eje x positivo: m = tan α.

Ecuación Punto-Pendiente

La ecuación punto-pendiente de una recta que pasa por un punto P₀=(x₀, y₀) y tiene una pendiente m es:

y - y₀ = m(x - x₀)

Ecuación de la Recta que Pasa por Dos Puntos

La ecuación de una recta que pasa por dos puntos P₀=(x₀, y₀) y P₁=(x₁, y₁) puede expresarse de varias formas:

• Utilizando la pendiente m = (y₁ - y₀) / (x₁ - x₀) en la ecuación punto-pendiente:

y - y₀ = ((y₁ - y₀) / (x₁ - x₀)) ⋅ (x - x₀)

O en su forma continua (derivada de la simétrica):

(y - y₀) / (x - x₀) = (y₁ - y₀) / (x₁ - x₀)

Ángulos y Distancias en R²

Ángulo entre Rectas

El ángulo α entre dos rectas puede calcularse utilizando sus vectores normales N₁ y N₂, o sus vectores directores U y V:

• Usando vectores normales:

α = arccos((N₁ ⋅ N₂) / (||N₁|| ⋅ ||N₂||))

Usando vectores directores:

α = arccos((U ⋅ V) / (||U|| ⋅ ||V||))

Distancia de un Punto a una Recta en R²

La distancia de un punto P₁=(x₁, y₁) a una recta r: ax + by + c = 0 en el plano se calcula como:

d(P₁, r) = |ax₁ + by₁ + c| / √(a² + b²)

Planos en el Espacio (R³)

Ecuaciones del Plano en R³

Ecuación Paramétrica Vectorial

La ecuación paramétrica vectorial de un plano que pasa por un punto P₀=(x₀, y₀, z₀) y es generado por dos vectores directores no paralelos U=(u₁, u₂, u₃) y V=(v₁, v₂, v₃) es:

P(x, y, z) = P₀ + λU + μV

O en componentes:

(x, y, z) = (x₀ + λu₁ + μv₁ , y₀ + λu₂ + μv₂ , z₀ + λu₃ + μv₃)

donde λ y μ son parámetros escalares.

Ecuaciones Paramétricas Cartesianas

Las ecuaciones paramétricas cartesianas del plano son:

x = x₀ + λu₁ + μv₁
y = y₀ + λu₂ + μv₂
z = z₀ + λu₃ + μv₃

Ecuación Simétrica (No aplica directamente para planos)

La forma simétrica no es una representación estándar para planos, ya que requiere dos parámetros. Sin embargo, se puede obtener la ecuación general implícita eliminando los parámetros de las ecuaciones paramétricas cartesianas.

Ecuación General Implícita Cartesiana

La ecuación general implícita cartesiana de un plano es:

ax + by + cz + d = 0

donde N=(a, b, c) es un vector normal (perpendicular) al plano.

Ecuación Segmentaria (Canónica)

La ecuación segmentaria (o canónica) de un plano que no pasa por el origen y corta los tres ejes es:

x/p + y/q + z/r = 1

donde p, q, r son las intersecciones con los ejes x, y, z respectivamente (es decir, P_x=(p, 0, 0), P_y=(0, q, 0), P_z=(0, 0, r)).

A partir de la ecuación general ax + by + cz + d = 0, se tiene:

• p = -d/a (si a ≠ 0)
• q = -d/b (si b ≠ 0)
• r = -d/c (si c ≠ 0)

Distancias en R³

Distancia de un Punto a un Plano

La distancia de un punto P₁=(x₁, y₁, z₁) a un plano π: ax + by + cz + d = 0 se calcula como:

d(P₁, π) = |ax₁ + by₁ + cz₁ + d| / √(a² + b² + c²)

Distancia entre Planos Paralelos

La distancia entre dos planos paralelos π₁: ax + by + cz + d₁ = 0 y π₂: ax + by + cz + d₂ = 0 (con el mismo vector normal (a,b,c)) se calcula como:

d(π₁, π₂) = |d₂ - d₁| / √(a² + b² + c²)

Si los planos no son paralelos, se intersecan y la distancia es 0.

Rectas en el Espacio (R³)

Ecuaciones de la Recta en R³

Ecuación Paramétrica Vectorial

La ecuación paramétrica vectorial de una recta que pasa por un punto P₀=(x₀, y₀, z₀) y tiene un vector director U=(u₁, u₂, u₃) es:

P = P₀ + λU

O en componentes:

(x, y, z) = (x₀, y₀, z₀) + λ(u₁, u₂, u₃)

donde λ es un parámetro escalar.

Ecuaciones Paramétricas Cartesianas

Las ecuaciones paramétricas cartesianas de la recta son:

x = x₀ + λu₁
y = y₀ + λu₂
z = z₀ + λu₃

Ecuación Simétrica (Continua)

Despejando λ de las ecuaciones paramétricas cartesianas e igualando, se obtiene la ecuación simétrica (o continua):

(x - x₀) / u₁ = (y - y₀) / u₂ = (z - z₀) / u₃

Esta forma es válida si u₁ ≠ 0, u₂ ≠ 0 y u₃ ≠ 0. Si alguna componente del vector director es cero, se debe ajustar la expresión.

Ecuaciones de los Planos Proyectantes

Las ecuaciones de los planos proyectantes se obtienen al igualar las partes de la ecuación simétrica de la recta. Cada igualdad representa un plano que contiene a la recta y es paralelo a uno de los ejes coordenados:

• (x - x₀) / u₁ = (y - y₀) / u₂ → u₂(x - x₀) - u₁(y - y₀) = 0 (Plano proyectante sobre el plano xy, paralelo al eje z)
• (y - y₀) / u₂ = (z - z₀) / u₃ → u₃(y - y₀) - u₂(z - z₀) = 0 (Plano proyectante sobre el plano yz, paralelo al eje x)
• (x - x₀) / u₁ = (z - z₀) / u₃ → u₃(x - x₀) - u₁(z - z₀) = 0 (Plano proyectante sobre el plano xz, paralelo al eje y)

Intersección y Posición Relativa de Rectas y Planos en R³

Recta de Intersección de Dos Planos

La recta de intersección de dos planos π₁: a₁x + b₁y + c₁z + d₁ = 0 y π₂: a₂x + b₂y + c₂z + d₂ = 0 (no paralelos) se determina siguiendo estos pasos:

1. Vector Director (U): El vector director de la recta de intersección es perpendicular a los vectores normales de ambos planos. Por lo tanto, se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales N₁ y N₂ de los planos:

U = N₁ × N₂

Punto de la Recta (P₀): Para encontrar un punto P₀=(x₀, y₀, z₀) que pertenezca a la recta, se asigna un valor arbitrario a una de las coordenadas (por ejemplo, z=0) en el sistema de ecuaciones de los dos planos. Luego, se resuelven las dos ecuaciones resultantes para las otras dos coordenadas.Ecuación de la Recta: Con el vector director U y el punto P₀, se puede plantear la ecuación paramétrica o simétrica de la recta.

Posición Relativa entre una Recta y un Plano

Dada una recta r con vector director U y un punto P₀, y un plano π con vector normal N y ecuación ax + by + cz + d = 0, su posición relativa puede ser:

• Recta Paralela al Plano: Si el vector director de la recta es perpendicular al vector normal del plano (es decir, su producto escalar es cero: U ⋅ N = 0), y el punto P₀ de la recta no pertenece al plano (es decir, ax₀ + by₀ + cz₀ + d ≠ 0).
• Recta Contenida en el Plano (Coincidentes): Si el vector director de la recta es perpendicular al vector normal del plano (U ⋅ N = 0), y el punto P₀ de la recta sí pertenece al plano (es decir, ax₀ + by₀ + cz₀ + d = 0).
• Recta Perpendicular al Plano: Si el vector director de la recta es paralelo al vector normal del plano (es decir, U = k N para algún escalar k, o sus componentes son proporcionales: u₁/a = u₂/b = u₃/c).
• Recta Secante (Interseca en un Punto): Si la recta no es paralela ni perpendicular al plano, lo interseca en un único punto.

Intersección de una Recta y un Plano

Para encontrar la intersección de una recta y un plano, se sustituyen las coordenadas paramétricas de la recta en la ecuación general del plano. Esto resultará en una ecuación con el parámetro λ:

• Si la ecuación resultante es una identidad (0 = 0), significa que la recta está contenida en el plano (infinitos puntos de intersección).
• Si la ecuación resultante es una contradicción (por ejemplo, 5 = 0), significa que la recta es paralela al plano y no lo interseca (cero puntos de intersección).
• Si la ecuación resultante tiene una solución única para λ (por ejemplo, λ = 1.5), significa que la recta interseca al plano en un único punto. Para encontrar este punto, se sustituye el valor de λ en las ecuaciones paramétricas de la recta.

Ángulo entre una Recta y un Plano

El ángulo β entre una recta r (con vector director U) y un plano π (con vector normal N) se calcula utilizando la siguiente fórmula:

sen(β) = |U ⋅ N| / (||U|| ⋅ ||N||)

Por lo tanto:

β = arcsen(|U ⋅ N| / (||U|| ⋅ ||N||))

Es importante notar que se usa el seno porque el ángulo β es el complemento del ángulo entre el vector director de la recta y el vector normal del plano.

Distancia de un Punto a una Recta en R³

La distancia de un punto P₁ a una recta r (que pasa por P₀ y tiene vector director U) en el espacio tridimensional se calcula como:

d(P₁, r) = ||U × P₀P₁|| / ||U||

donde P₀P₁ es el vector que va del punto P₀ de la recta al punto P₁.

Posición Relativa entre Rectas en R³

Rectas Coplanares

Dos rectas r₁ (con vector director U y punto P₁) y r₂ (con vector director V y punto P₂) son coplanares si se encuentran en el mismo plano. Dentro de las coplanares, pueden ser:

• Paralelas: Si sus vectores directores son paralelos (U = k V para algún escalar k) y no tienen puntos en común (es decir, P₁ pertenece a r₁ pero no a r₂).
• Coincidentes: Si sus vectores directores son paralelos (U = k V) y tienen todos sus puntos en común (es decir, P₁ de r₁ también pertenece a r₂).
• Secantes (Concurrentes o Incidentes): Si no son paralelas y se intersecan en un único punto. Esto ocurre si los vectores U, V y P₁P₂ son coplanares (su producto mixto es cero) y U no es paralelo a V.
• Perpendiculares: Si son secantes y sus vectores directores son ortogonales (U ⋅ V = 0).

Determinación de la Intersección de Rectas en R³

Para determinar si dos rectas r₁ y r₂ se intersecan, se igualan sus ecuaciones paramétricas. Esto genera un sistema de ecuaciones con dos parámetros (uno para cada recta). Al resolver este sistema, pueden ocurrir los siguientes casos:

• Sistema Incompatible (Sin Solución): Si el sistema no tiene solución, las rectas no se intersecan. En este caso, las rectas pueden ser:
  • Paralelas: Si sus vectores directores son paralelos.
  • Alabeadas: Si sus vectores directores no son paralelos y no se encuentran en el mismo plano (es decir, no son coplanares).
• Sistema Compatible Determinado (Solución Única): Si el sistema tiene una única solución para los parámetros, las rectas son secantes (o concurrentes/incidentes) y se intersecan en un único punto.
• Sistema Compatible Indeterminado (Infinitas Soluciones): Si el sistema tiene infinitas soluciones, las rectas son coincidentes (todos los puntos de r₁ son también puntos de r₂).

Ángulo entre Rectas

El ángulo α entre dos rectas r₁ (con vector director U) y r₂ (con vector director V) se calcula como:

α = arccos((U ⋅ V) / (||U|| ⋅ ||V||))

Esta fórmula es válida para cualquier par de rectas, sean coplanares o alabeadas, y devuelve el ángulo agudo entre sus direcciones.

Distancia entre Rectas Alabeadas

La distancia entre dos rectas alabeadas r₁ (que pasa por P₁ con director U) y r₂ (que pasa por P₂ con director V) se calcula utilizando la fórmula del producto mixto:

d(r₁, r₂) = |(P₁P₂) ⋅ (U × V)| / ||U × V||

donde P₁P₂ es el vector que va de un punto de r₁ a un punto de r₂.