Fundamentos Esenciales de Probabilidad: Conceptos Clave y Teoremas Fundamentales

Fundamentos Esenciales de Probabilidad

PROBABILIDAD: Definimos probabilidad $P$, como una función que a cada suceso de un experimento aleatorio le asocia un número entre 0 y 1, y mide la facilidad de ocurrencia del suceso.

• Llamamos suceso seguro ($A$), a aquel que siempre ocurre y su probabilidad es 1.
• Llamamos suceso imposible ($B$), a aquel que nunca ocurre, y su probabilidad es 0.

Regla de Laplace

Si tenemos un espacio muestral ($E$), formado por sucesos elementales equiprobables, entonces la probabilidad de un suceso $A$ se calcula como:

$$P(A) = \frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}$$

Un experimento aleatorio compuesto es el que está formado por varios experimentos simples o que se puede descomponer en varios experimentos más simples.

Estrategia de Resolución de Problemas

Leyendo atentamente el enunciado de muchos problemas de probabilidad, debemos observar si son con o sin devolución:

• En las extracciones sucesivas sin devolución, el resultado de cada una de ellas depende del resultado de las anteriores.
• En las extracciones sucesivas con devolución, el resultado de cada una de ellas no depende del resultado de las anteriores.

A veces el problema nos dice que se extraen simultáneamente; este caso es equivalente al caso de las extracciones sucesivas sin devolución.

Propiedades Fundamentales

Probabilidad Condicional

La probabilidad del suceso $B$, condicionado por el suceso $A$, es la probabilidad de que se realice $B$ sabiendo que se ha realizado $A$. Se representa por $P(B|A)$ y se calcula de la siguiente manera:

$$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$$

Independencia de Sucesos

• Dos sucesos $A$ y $B$ son independientes si y solo si $P(A) = P(A|B)$ y $P(B) = P(B|A)$.
• Dos sucesos son independientes si y solo si... (Se recomienda completar esta definición si el contexto lo permite, usualmente $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$).

Teorema de la Probabilidad Compuesta

Este teorema se aplica al estudio de la probabilidad de una trayectoria en un diagrama de árbol, que es el producto de las probabilidades de las ramas que componen dicho camino. Todas las probabilidades de las ramas, excepto la primera, son condicionales.

Dados $A_1, A_2, \dots, A_n$ sucesos dependientes de una experiencia y cuya probabilidad de verificación simultánea sea no nula, entonces la probabilidad de su intersección es:

$$P(A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_n) = P(A_1) \cdot P(A_2|A_1) \cdot P(A_3|A_1 \cap A_2) \cdot \dots \cdot P(A_n|A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_{n-1})$$

Teorema de la Probabilidad Total o de la Suma

Este teorema se utiliza para calcular la probabilidad de un suceso $B$ mediante la suma de las probabilidades de los caminos que lo componen en un diagrama de árbol.

Dado un sistema completo de sucesos $A_1, A_2, \dots, A_n$ y un suceso $B$ cualquiera, la probabilidad total de $B$ viene dada por:

$$P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) + \dots + P(A_n)P(B|A_n)$$

Teorema de Bayes

Dado un sistema completo de sucesos $A_1, A_2, \dots, A_n$ y un suceso cualquiera $B$, el teorema de Bayes permite calcular la probabilidad de que se verifique un suceso $A_i$ condicionado a que haya verificado el suceso $B$:

$$P(A_i|B) = \frac{P(A_i)P(B|A_i)}{P(B)}$$

Donde el denominador $P(B)$ se calcula usando el Teorema de la Probabilidad Total:

$$P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) + \dots + P(A_n)P(B|A_n)$$

Terminología en el Teorema de Bayes

Se definen los siguientes términos:

1. Probabilidades a priori ($P(A_i)$): Son las probabilidades iniciales, conocidas antes de observar el suceso $B$.
2. Verosimilitudes ($P(B|A_i)$): Son las probabilidades condicionales, consideradas creíbles ya que no ofrecen ninguna duda sobre su valor dado el suceso $A_i$.
3. Probabilidades a posteriori ($P(A_i|B)$): Son las probabilidades que se calculan después de haber observado el suceso $B$.