Fundamentos Esenciales de la Probabilidad: Conceptos y Aplicaciones Matemáticas

¿Qué es la probabilidad?

Rama de las matemáticas que estudia los fenómenos con incertidumbre

Orígenes:

Siglo XVI en Francia, No hay muchos términos estandarizados

Teoría de la probabilidad:

Estudia modelos deterministas, cuando no se pueden realizar simplificaciones para conocer con precisión el resultado se utilizan modelos aleatorios

Experimento:

Cualquier procedimiento capaz de generar resultados observables

Exp. Determinista:

Al repetirse bajo las mismas condiciones da el mismo resultado

Exp. Aleatorio:

Al repetirse bajo las mismas condiciones da distintos resultados. Se clasifican en:
Discretos (resultados exactos, puntuales y contables. Ej. Num de personas que cruzan la puerta), Continuos (los resultados son cualquier valor dentro de un intervalo continuo.
Ej. El tiempo de trayecto de la FI a casa).

Independientes:

la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia de otro y viceversa (Si P(A|B) = P(A) y P(B|A)= P(B)) (Solo si
A y B son indep. P(A∩ B) = P(A) * P(B)).

Conceptos básicos:

1.

Conjunto

Lista de objetos bien definidos, con algo en común, Asignación de un conjunto:
por extensión A:{a,e,i,o,u} o constructiva A:{vocales}.

Subconjunto:

A C B.

Igualdad de conjuntos:

A = B.

Conjunto universal:

U.

Conjunto vacío:

Ø o {}.

Diagrama de Venn

Operaciones básicas: Uníón:

A U B (elementos en A o en B), Intersección:
A∩B (elementos en A y en B), Complemento:
A', A^c, A* (todo lo que no pertenece a A), Diferencia:
A\B o A-B (Elementos que pertenecen a A pero no a B), Conjuntos disjuntos o excluyentes:
A∩ B- {} (No tienen nada en común), Leyes D'Morgan:
(A U B)^c = A* ∩ B*.

Espacio muestral:

Conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio (S).

Evento:

cualquier subconjunto del espacio muestral.

Evento seguro:

aquel que al definirlo da como resultado el espacio muestral.

Evento imposible:

aquel que nunca ocurrirá.

Eventos mutuamente excluyentes:

su intersección es vacía.

Eventos colectivamente exhaustivos:

aquellos cuya uníón forma el espacio muestral.

Técnicas de conteo:

son métodos generales para contar el número de objetos que pertenecen a un conjunto.

Diagrama de árbol (representación gráfica de los posibles resultados). 

Principio fundamental del conteo, regla de la multiplicación (Si se tiene un primer evento con "n" formas posibles y otro con "m" formas posibles entonces "nxm" es el número total de distintas formas en que puede suceder el evento.

Permutación:

es un arreglo en un orden particular de los elementos que conforman un conjunto (Factorial), cuando ordenamos los n objetos de un conjunto se tiene nPr.
Permutación con repetición nPRr = n^r, donde n es el total de elementos y r es el # de elementos seleccionado.

Combinaciones:

Selección de los elementos de un conjunto sin importar el orden de la selección (El contenido sea diferente). NCr.

Un valor de probabilidad es un número real que mide la posibilidad de ocurrencia de los resultados del espacio muestral.

Enfoque clásico:

los resultados del espacio muestral tienen que ser equiprobables (misma posibilidad de ocurrencia) nE/nS.

Enfoque frecuentista:

después de n repeticiones un evento E ocurre r veces P(E)= lim f(E).

Interpretación subjetiva:

el grado de creencia o convicción que tiene un experto. 

Definición axiomática de la probabilidad:

Para cualquier evento A € S, la prob. De A es un numero P(A) y cumple con: 1. P(A) >=0, 2. P(S)=1, 3. Si A y B son eventos mutuamente exclutentes entonces P(A U B)= P(A) + P(B)

Teoremas elementales de la probabilidad:

P(Ø) = 0, P(A^c) = 1-P(A), P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A∩ B)

Probabilidad condicional:

P(A|B) (Probabilidad de que ocurra A dado que B ya paso). P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)

Probabilidad total:

útil para determinar la probabilidad de un evento que depende de otros. (P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|B_2)P(B_2)+...

Teorema de Bayes: